Cho đường tròn \(\left( O \right),\)đường kính \(AB\) cố định. Điểm \(H\) cố định nằm giữa

Câu hỏi số 476446:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right),\)đường kính \(AB\) cố định. Điểm \(H\) cố định nằm giữa hai điểm \(A\) và \(O\) sao cho \(AH < OH.\) Kẻ dây cung \(MN\) vuông góc với \(AB\) tại \(H\). Gọi \(C\) là điểm tùy ý thuộc cung lớn \(MN\) sao cho \(C\) không trùng với \(M,N\) và \(B.\) Gọi \(K\) là giao điểm của \(AC\) và \(MN.\)

1) Chứng minh tứ giác \(BCKH\) nội tiếp.

2) Chứng minh tam giác \(AMK\) đồng dạng với tam giác \(ACM\).

3) Cho độ dài đoạn thẳng \(AH = a.\) Tính \(AK.AC - HA.HB\) theo \(a\).

4) Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MKC.\) Xác định vị trí của điểm \(C\) để độ dài đoạn thẳng \(IN\) nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476446

Phương pháp giải

1. Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) là tứ giác nội tiếp

2. Đường kính vuông góc với dây căng một cung thì đi qua điểm chính giữa của cung ấy

3. Sử dụng hệ thức lượng kết hợp tam giác đồng dạng

4. Chứng minh \(M,I,B\) thẳng hàng, từ đó suy ra \(NI\) nhỏ nhất khi \(I\) là hình chiếu của \(N\) lên \(MB.\)

Giải chi tiết

1. Chứng minh tứ giác \(BCKH\) nội tiếp

Có \(AH \bot MN \Rightarrow \angle KHB = {90^0}\) và \(\angle KCB = {90^0}\) do \(AB\) là đường kính.

Tứ giác \(BCKH\)có \(\angle KHB + \angle KCB = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow BCKH\) là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}\))

2. Chứng minh tam giác \(AMK\) đồng dạng với tam giác \(ACM\).

Vì \(AB \bot MN\) mà \(AB\) là đường kính nên \(AM = AN\)

Xét \(\Delta AMK\)và \(\Delta ACM\)có:

\(\angle MAK\) chung

\(\angle AMK = \angle ACM\) (do \(AM = AN\))

\( \Rightarrow \Delta AMK \sim \Delta ACM(g.g)\)

3. Cho độ dài đoạn thẳng \(AH = a.\) Tính \(AK.AC - HA.HB\) theo \(a.\)

\(\Delta AMK \sim \Delta ACM \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{AM}} = \dfrac{{AM}}{{AC}} \Rightarrow AK.AC = A{M^2}\left( 1 \right)\)

Xét tam giác \(MAB\) vuông tại \(M\)( do \(AB\) là đường kính) có đường cao \(MH\), áp dụng hệ thức lượng ta có:

\(HA.HB = M{H^2}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) ta có:

\(AK.AC - HA.HB = A{M^2} - H{M^2} = A{H^2}\, = {a^2}\) (Định lý Pitago)

4. Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MKC.\) Xác định vị trí của điểm \(C\) để độ dài đoạn thẳng \(IN\) nhỏ nhất.

Vì \(\angle AMK = \angle ACM\) nên \(AM\) là tiếp tuyến của \(\left( I \right) \Rightarrow AM \bot IM\) mà \(AM \bot MB \Rightarrow I \in BM.\)

Có \(B,M,N\) cố định nên \(NI\) nhỏ nhất khi \(I\) là hình chiếu của \(N\) lên \(MB.\)

Vậy với \(I\) là hình chiếu của \(N\) lên \(MB\), ta vẽ đường tròn \(\left( {I;IM} \right)\), đường tròn này cắt \(\left( O \right)\) tại vị trí chính là vị trí của điểm \(C\) cần tìm.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link