Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(2a\), tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(2a\), tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\varphi \) và \(\sin \varphi = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) bằng:
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
- Xác định góc giữa \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Chứng minh \(d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\), dựng \(d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\).
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính \(d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Vì tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) nên \(SH \bot AB\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right),\,\,SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Gọi \(K\) là trung điểm của \(CD\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HK\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow CD \bot SK\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\SK \subset \left( {SCD} \right),\,\,SK \bot CD\\HK \subset \left( {ABCD} \right),\,\,HK \bot CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SK;HK} \right) = \angle SKH = \varphi \).
Vì \(AH//CD \Rightarrow AH//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\).
Trong \(\left( {SHK} \right)\) kẻ \(HI \bot SK\,\,\left( {I \in SK} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}HI \bot SK\\HI \bot CD\,\,\left( {CD \bot \left( {SHK} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow HI \bot \left( {SCD} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HI\).
Xét tam giác vuông \(HIK\) ta có \(\sin \varphi = \sin \angle SKH = \dfrac{{HI}}{{HK}}\) \( \Rightarrow HI = HK.\sin \varphi = 2a.\dfrac{{\sqrt 5 }}{5} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).
Vậy \(d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
