Cho \(\Delta ABC\)nhọn có \(AB < AC.\) Gọi \(O,H,G\) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp,

Câu hỏi số 478778:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\)nhọn có \(AB < AC.\) Gọi \(O,H,G\) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm của tam giác trên. Gọi \(E\) là điểm tùy ý sao cho luôn tạo thành \(\Delta EHG\) và \(\Delta EOG.\) Chứng minh tỉ số diện tích \(\Delta EHG\) và diện tích \(\Delta EOG\) không phụ thuộc vào vị trí điểm \(E.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:478778

Phương pháp giải

Đây chính là bài toán đường thẳng Euler của tam giác \(ABC\).

Giải chi tiết

Nhận xét: \(HGO\) là đường thẳng Euler của tam giác \(ABC\)

Vẽ đường kính \(AD\).

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC.\)

Dễ thấy \(BHCD\) là hình bình hành, mà \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(M\) là trung điểm \(DH\)

Suy ra \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(AHD\)

Xét \(\Delta AHG\) và \(\Delta MOG\) có:

\(\dfrac{{OM}}{{AH}} = \dfrac{{GM}}{{GA}}\left( { = \dfrac{1}{2}} \right)\)

\(\angle HAG = \angle OMG\) (so le trong do \(OM\,{\rm{//}}\,AH\))

Suy ra \(\Delta AHG\) đồng dạng với \(\Delta MOG\) \( \Rightarrow \angle AGH = \angle OGM\) \( \Rightarrow H,G,O\) thẳng hàng và \(\dfrac{{HG}}{{GO}} = 2\)

Vậy với điểm \(E\) tùy ý sao cho luôn tạo thành \(\Delta EHG\) và \(\Delta EOG\) thì \(\dfrac{{{S_{\Delta EHG}}}}{{{S_{\Delta EOG}}}} = \dfrac{{HG}}{{GO}} = 2\) không đổi, không phụ thuộc vào vị trí điểm \(E\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link