Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Biết \({x^2}\) là

Câu hỏi số 479004:

Thông hiểu

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Biết \({x^2}\) là một nguyên hàm của \({x^2}f'\left( x \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 1\). Tính \(f\left( e \right)\).

A. \(2e + 1\)

B. \(3\)

C. \(2\)

D. \(e\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479004

Phương pháp giải

- Sử dụng: \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thì \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\). Từ đó tìm \(f'\left( x \right)\).

- Tìm \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} \).

- Sử dụng \(f\left( 1 \right) = 1\) tìm hằng số \(C\) sau đó tính \(f\left( e \right)\).

Giải chi tiết

Do \({x^2}\) là một nguyên hàm của \({x^2}f'\left( x \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên \({x^2}f'\left( x \right) = \left( {{x^2}} \right)' = 2x \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{2x}}{{{x^2}}} = \dfrac{2}{x}\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\dfrac{2}{x}dx} = 2\ln x + C\).

Mà \(f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow 2\ln 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 1\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = 2\ln x + 1\).

Vậy \(f\left( e \right) = 2\ln e + 1 = 3\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.