Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3; - 2;3} \right);\,\,B\left( {1;0;5} \right)\) . Tìm tọa

Câu hỏi số 479260:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3; - 2;3} \right);\,\,B\left( {1;0;5} \right)\) . Tìm tọa độ điểm \(M \in \left( {Oxy} \right)\) sao cho \(MA + MB\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(\left( {\dfrac{9}{4}; - \dfrac{5}{4};0} \right)\)

B. \(\left( {\dfrac{9}{4};\dfrac{5}{4};0} \right)\)

C. \(\left( { - \dfrac{9}{4}; - \dfrac{5}{4};0} \right)\)

D. \(\left( { - \dfrac{9}{4};\dfrac{5}{4};0} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479260

Phương pháp giải

- Nhận xét: A, B nằm cùng phía đối với \(\left( {Oxy} \right)\).

- Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với A qua \(\left( {Oxy} \right)\) \( \Rightarrow MA = MA'\).

- Áp dụng BĐT tam giác \(MA + MB = MA' + MB \ge A'B\).

- Đưa về bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

Giải chi tiết

Dễ thấy A, B nằm cùng phía đối với \(\left( {Oxy} \right)\).

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với A qua \(\left( {Oxy} \right)\) \( \Rightarrow A'\left( {3; - 2; - 3} \right)\).

Khi đó ta có \(MA = MA' \Rightarrow MA + MB = MA' + MB \ge A'B\).

Dấu “=” xảy ra khi \(M = A'B \cap \left( {Oxy} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {A'B} = \left( { - 2;2;8} \right) = - 2\left( {1; - 1; - 4} \right)\) nên phương trình đường thẳng \(A'B:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - t\\z = 5 - 4t\end{array} \right.\).

Khi đó tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - t\\z = 5 - 4t\\z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \dfrac{5}{4}\\x = \dfrac{9}{4}\\y = - \dfrac{5}{4}\\z = 0\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{9}{4}; - \dfrac{5}{4};0} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.