Với \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \(x - y = 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu hỏi số 481309:

Vận dụng cao

Với \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \(x - y = 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{{x^3}}}{y} + \dfrac{{{y^3}}}{x} - xy.\)

A. \(20\)

B. \(22\)

C. \(25\)

D. \(24\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481309

Phương pháp giải

Thay \(x = y + 2\), rút gọn biểu thức sau đó sử dụng bất đẳng thức AM – GM

Giải chi tiết

\(x - y = 2 \Rightarrow x = y + 2.\)

Thay \(x = y + 2\) vào biểu thức ta có:

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{{{\left( {y + 2} \right)}^3}}}{y} + \dfrac{{{y^3}}}{{y + 2}} - \left( {y + 2} \right)y\\P = \dfrac{{{y^3} + 6{y^2} + 12y + 8}}{y} + \dfrac{{{y^3}}}{{y + 2}} - \left( {y + 2} \right)y\\P = \dfrac{{{y^3} + 6{y^2} + 12y + 8}}{y} + \dfrac{{{y^3} + 8 - 8}}{{y + 2}} - \left( {y + 2} \right)y\\P = \dfrac{{{y^3} + 6{y^2} + 12y + 8}}{y} + \dfrac{{{y^3} + 8}}{{y + 2}} - \dfrac{8}{{y + 2}} - \left( {y + 2} \right)y\\P = {y^2} + 6y + 12 + \dfrac{8}{y} + \dfrac{{\left( {y + 2} \right)\left( {{y^2} - 2y + 4} \right)}}{{y + 2}} - \dfrac{8}{{y + 2}} - \left( {y + 2} \right)y\\P = {y^2} + 2y + 16 + \dfrac{8}{y} - \dfrac{8}{{y + 2}}\\P = y\left( {y + 2} \right) + \dfrac{{16}}{{y\left( {y + 2} \right)}} + 16\\P \ge 2\sqrt {y\left( {y + 2} \right).\dfrac{{16}}{{y\left( {y + 2} \right)}}} + 16\\P \ge 24.\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(24\), dấu bằng xảy ra khi \(x = \sqrt 5 + 1,y = \sqrt 5 - 1.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link