Cho tam giác \(ABC\) nhọn, không cân có trực tâm \(H\) và tâm đường tròn ngoại tiếp \(O\).

Câu hỏi số 481310:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) nhọn, không cân có trực tâm \(H\) và tâm đường tròn ngoại tiếp \(O\). Đường trung trực của đoạn thẳng \(AH\) cắt các cạnh \(AB,AC\) lần lượt tại \(E,F.\)

a) Chứng minh các tam giác \(AHE\) và \(ACO\) đồng dạng.

b) Chứng minh các tam giác \(AEO\) và \(AHC\) đồng dạng, từ đó suy ra \(OA\) là tia phân giác trong của \(\angle EOF.\)

c) Chứng minh rằng \(A\) là tâm đường tròn bàng tiếp góc \(O\) của tam giác \(OEF.\)

d) Đường tròn bàng tiếp góc \(O\) của tam giác \(OEF\) tiếp xúc với các tia \(OE,OF\) lần lượt tại \(P,Q.\) Các đoạn thẳng \(PQ,AH\) cắt nhau tại \(R.\) Chứng minh \(OR\) đi qua trung điểm của \(EF.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481310

Phương pháp giải

a) Chứng minh hai tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau thì đồng dạng

b) Sử dụng gợi ý từ câu a

c) Chứng minh \(EA\) là phân giác ngoài của góc \(OEF\), kết hợp với \(OA\) là tia phân giác trong của \(\angle EOF.\)

d) Qua \(R\) vẽ đường thẳng vuông góc với \(AH\), cắt các đường thẳng \(OP,OQ\) lần lượt tại \(M,N.\) Ta sẽ chứng minh \(R\) là trung điểm của \(MN\) sau đó theo bổ đề hình thang suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

a) Chứng minh các tam giác \(AHE\) và \(ACO\) đồng dạng.

Ta có \(EF\) là đường trung trực của \(AH\)\( \Rightarrow EA = EH\)(định lí)

Xét \(\Delta AEH\) có: \(EA = EH\)(chứng minh trên) \( \Rightarrow \Delta AEH\) cân tại \(E\) (định nghĩa)

\( \Rightarrow \angle EAH = \angle EHA\) (tính chất)

Xét \(\Delta AOC\) cân tại \(O\left( {OA = OC = R} \right)\)

\(\angle OAC = \angle OCA = \dfrac{{180^\circ - \angle AOC}}{2} = 90^\circ - \dfrac{{\angle AOC}}{2}\)\(\left( * \right)\)

Mà \(\angle ABC = \dfrac{1}{2}\)sđ (góc nội tiếp bị chắn bởi cung \(AC\))

\(\angle AOC = \) sđ(góc ở tâm bị chắn bởi cung \(AC\)) \( \Rightarrow \dfrac{{\angle AOC}}{2} = \dfrac{1}{2}\)sđ

\( \Rightarrow \dfrac{{\angle AOC}}{2} = \angle ABC\)

Vậy \(\left( * \right) \Leftrightarrow \) \(\angle OAC = \angle OCA\)\( = 90^\circ - \angle ABC = \angle EAH\)

Suy ra \(\angle EAH = \angle EHA = \angle OAC = \angle OCA\).

Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta ACO\,\,\)có:

\(\angle EHA = \angle OCA\)

\(\angle EAH = \angle OAC\)

\( \Rightarrow \Delta AHE \sim \Delta ACO\,\,\)(góc – góc)

b) Chứng minh các tam giác \(AEO\) và \(AHC\) đồng dạng, từ đó suy ra \(OA\) là tia phân giác trong của \(\angle EOF\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle OAE = \angle OAH + \angle HAE\\\angle CAH = \angle OAH + \angle CAO\end{array} \right..\)

Mà \(\angle HAE = \angle CAO\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow \) \(\angle OAE = \angle CAH\)

Xét \(\Delta OAE\) và \(\Delta CAH\) có:

\(\angle OAE = \angle CAH\)

\(\dfrac{{EA}}{{AH}} = \dfrac{{AO}}{{AC}}\) (\(\Delta AHE \sim \Delta ACO\,\,\)theo câu a)

\( \Rightarrow \Delta OAE \sim \Delta CAH\)(cạnh – góc – cạnh)

\( \Rightarrow \) \(\angle AOE = \angle ACH\) (góc tương ứng)

Tương tự ta có \(\Delta AOF \sim \Delta ABH\) \( \Rightarrow \angle AOF = \angle ABH\)

Mà \(\angle ACH = \angle ABH\) (cùng phụ \(\angle BAC\)) nên \(\angle AOE = \angle AOF\)

\( \Rightarrow OA\) là phân giác \(\angle EOF\) (định nghĩa)

c) Chứng minh rằng \(A\) là tâm đường tròn bàng tiếp góc \(O\) của tam giác \(OEF.\)

Có \(\angle CAH = \angle CBH\) (cùng phụ\(\angle ACB\)), \(\angle ACH = \angle ABH\) (cùng phụ \(\angle BAC\))

Suy ra \(\angle CAH + \angle ACH = \angle ABC\) \( \Rightarrow 180^\circ - \angle AHC = \angle ABC\)

Có \(\angle OEB = 180^\circ - \angle OEA\) \( = 180^\circ - \angle AHC = \angle ABC\)

Mà \(\angle ABC = \angle AEF\) (đồng vị do \(EF\,{\rm{//}}\,BC\)) nên \(\angle OEB = \angle AEF\)

\( \Rightarrow \) \(EA\) là phân giác ngoài của góc \(OEF\),

Lại có \(OA\) là phân giác trong \(\angle EOF\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \) \(A\) là tâm đường tròn bàng tiếp góc \(O\) của tam giác \(EOF.\)

d) Đường tròn bàng tiếp góc \(O\) của tam giác \(OEF\) tiếp xúc với các tia \(OE,OF\) lần lượt tại \(P,Q.\) Các đoạn thẳng \(PQ,AH\) cắt nhau tại \(R.\) Chứng minh \(OR\) đi qua trung điểm của \(EF.\)

Qua \(R\) vẽ đường thẳng vuông góc với \(AH\), cắt các đường thẳng \(OP,OQ\) lần lượt tại \(M,N.\)

Xét tứ giác \(ARPM\)có: \(\angle APM = \angle ARM = 90^\circ \)

\( \Rightarrow ARPM\)là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

\( \Rightarrow \angle AMR = \angle APR = \angle AQR = \angle ANR\) (\(AQNR\) nội tiếp)

\( \Rightarrow \Delta AMN\) cân tại \(A.\)

Mà \(AR\) là đường cao trong \(\Delta AMN\)\( \Rightarrow AR\) là đường trung tuyến (tính chất)

\( \Rightarrow RM = RN\)

Gọi giao điểm của \(OR\) và \(EF\) là \(I.\)

Theo định lí Thales ta có: \(\dfrac{{IE}}{{RM}} = \dfrac{{IF}}{{RN}}\left( { = \dfrac{{OS}}{{OR}}} \right)\)

Mà \(RM = RN \Rightarrow IE = IF \Rightarrow \)\(OR\) đi qua trung điểm của \(EF.\) (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link