Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) , đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\). a) Chứng minh rằng

Câu hỏi số 482052:

Vận dụng cao

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) , đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\).

a) Chứng minh rằng \(mp\left( {ABB'A'} \right) \bot mp\left( {ACC'A'} \right)\).

b) Gọi \(M\) là một điểm bất kì trên cạnh \(B'C'\). Chứng minh rằng \(mp\left( {AA'M} \right) \bot mp\left( {A'B'C'} \right).\)

c) Xác định vị trí của điểm \(M\) trên cạnh \(B'C'\) để độ dài \(AM\) nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:482052

Phương pháp giải

Muốn chứng minh \(mp\left( {ABB'A'} \right) \bot mp\left( {ACC'A'} \right)\) ta chứng minh một đường thẳng của mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.

Giải chi tiết

a) Ta có: \(AB \bot AA'\) và \(AB \bot AC\) nên \(AB \bot mp\left( {ACC'A'} \right).\)

Mặt khác \(AB \subset mp\left( {ABB'A'} \right)\) nên \(mp\left( {ABB'A'} \right) \bot mp\left( {ACC'A'} \right)\)

b) Hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ đứng nên

\(AA' \bot mp\left( {A'B'C'} \right).\)

Mặt khác, \(AA' \subset mp\left( {AA'M} \right)\)

\( \Rightarrow mp\left( {AA'M} \right) \bot mp\left( {A'B'C'} \right).\)

c) Xét \(\Delta AA'M\) vuông tại \(A'\), ta có:

\(A{M^2} = A{A'^2} + A'{M^2}\)(định lí Py – ta – go)

trong đó \(AA'\) không đổi.

Suy ra \(AM\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow A'M\) nhỏ nhất.

Xét \(mp\left( {A'B'C'} \right)\) ta có \(A'M\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow A'M \bot B'C'\)

Vậy để độ dài \(AM\) nhỏ nhất thì \(M\) phải là hình chiếu của \(A\) trên \(B'C'\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link