Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) , đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\). a) Chứng minh rằng

Câu hỏi số 482052:

Vận dụng cao

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) , đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\).

a) Chứng minh rằng \(mp\left( {ABB'A'} \right) \bot mp\left( {ACC'A'} \right)\).

b) Gọi \(M\) là một điểm bất kì trên cạnh \(B'C'\). Chứng minh rằng \(mp\left( {AA'M} \right) \bot mp\left( {A'B'C'} \right).\)

c) Xác định vị trí của điểm \(M\) trên cạnh \(B'C'\) để độ dài \(AM\) nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:482052

Phương pháp giải

Muốn chứng minh \(mp\left( {ABB'A'} \right) \bot mp\left( {ACC'A'} \right)\) ta chứng minh một đường thẳng của mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.

Giải chi tiết

a) Ta có: \(AB \bot AA'\) và \(AB \bot AC\) nên \(AB \bot mp\left( {ACC'A'} \right).\)

Mặt khác \(AB \subset mp\left( {ABB'A'} \right)\) nên \(mp\left( {ABB'A'} \right) \bot mp\left( {ACC'A'} \right)\)

b) Hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ đứng nên

\(AA' \bot mp\left( {A'B'C'} \right).\)

Mặt khác, \(AA' \subset mp\left( {AA'M} \right)\)

\( \Rightarrow mp\left( {AA'M} \right) \bot mp\left( {A'B'C'} \right).\)

c) Xét \(\Delta AA'M\) vuông tại \(A'\), ta có:

\(A{M^2} = A{A'^2} + A'{M^2}\)(định lí Py – ta – go)

trong đó \(AA'\) không đổi.

Suy ra \(AM\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow A'M\) nhỏ nhất.

Xét \(mp\left( {A'B'C'} \right)\) ta có \(A'M\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow A'M \bot B'C'\)

Vậy để độ dài \(AM\) nhỏ nhất thì \(M\) phải là hình chiếu của \(A\) trên \(B'C'\).

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link