Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + 2\) tại điểm \(A\left( { - 1;1}

Câu hỏi số 483677:

Thông hiểu

Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + 2\) tại điểm \(A\left( { - 1;1} \right)\) vuông góc với đường thẳng \(x - 2y + 3 = 0\). Tính \({a^2} - {b^2}\).

A. \({a^2} - {b^2} = - 2\)

B. \({a^2} - {b^2} = 10\)

C. \({a^2} - {b^2} = 13\)

D. \({a^2} - {b^2} = - 5\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:483677

Phương pháp giải

- Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\).

- Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi tích hệ số góc của chúng bằng 0.

Giải chi tiết

Ta có: \(y' = 4a{x^3} + 2bx\).

\( \Rightarrow \) tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + 2\) tại điểm \(A\left( { - 1;1} \right)\) có hệ số góc là \(k = - 4a - 2b\).

Vì tiếp tuyến tại \(A\left( { - 1;1} \right)\) vuông góc với đường thẳng \(x - 2y + 3 = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}\) nên \(k.\dfrac{1}{2} = - 1 \Leftrightarrow k = - 2\).

\( \Rightarrow - 4a - 2b = - 2 \Leftrightarrow 2a + b = 1\,\,\,\left( 1 \right)\).

Lại có điểm \(A\left( { - 1;1} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + 2\) nên \(a + b + 2 = 1 \Leftrightarrow a + b = - 1\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) ta có: \(a = 2,\,\,b = - 3\).

Vậy \({a^2} - {b^2} = {2^2} - {\left( { - 3} \right)^2} = - 5\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.