Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật có \(AB = a,\,\,AD = a\sqrt 3 \). Biết \(SA

Câu hỏi số 483711:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật có \(AB = a,\,\,AD = a\sqrt 3 \). Biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và mặt hẳng \(\left( {SBD} \right)\) hợp với mặt phẳng đáy một góc \({30^0}\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\).

A. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)

B. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

C. \(V = \dfrac{{{a^3}}}{6}\)

D. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:483711

Phương pháp giải

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính \(SA\).

- Tính thể tích \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}}\).

Giải chi tiết

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(AH \bot BD\,\,\left( {H \in BD} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AH\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BD \bot SH\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\SH \subset \left( {SBD} \right),\,\,SH \bot BD\\AH \subset \left( {ABCD} \right),\,\,AH \bot BD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SH;AH} \right) = \angle SHA = {30^0}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABD\) có: \(AH = \dfrac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{a.a\sqrt 3 }}{{\sqrt {{a^2} + 3{a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

\( \Rightarrow SA = AH.\tan {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{a}{2}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.AB.AD = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.a.a\sqrt 3 = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.