Cho \(I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{x + \ln x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} = \dfrac{a}{b}\ln 2 -

Câu hỏi số 483712:

Vận dụng

Cho \(I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{x + \ln x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} = \dfrac{a}{b}\ln 2 - \dfrac{1}{c}\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên dương và \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức \(S = \dfrac{{a + b}}{c}\).

A. \(S = \dfrac{2}{3}\)

B. \(S = \dfrac{1}{2}\)

C. \(S = \dfrac{1}{3}\)

D. \(S = \dfrac{5}{6}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:483712

Phương pháp giải

- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + \ln x\\dv = \dfrac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\end{array} \right.\).

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b,\,\,c\) và tính \(S\).

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + \ln x\\dv = \dfrac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)dx = \dfrac{{x + 1}}{x}dx\\v = - \dfrac{1}{{x + 1}}\end{array} \right.\).

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}I = \left. { - \left( {x + \ln x} \right)\dfrac{1}{{x + 1}}} \right|_1^2 + \int\limits_1^2 {\dfrac{1}{{x + 1}}.\dfrac{{x + 1}}{x}dx} \\\,\,\,\, = - \left( {2 + \ln 2} \right).\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} + \int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{x}} \\\,\,\,\, = - \left( {2 + \ln 2} \right).\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} + \left. {\ln \left| x \right|} \right|_1^2\\\,\,\,\, = - \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3}\ln 2 + \dfrac{1}{2} + \ln 2\\\,\,\,\, = \dfrac{2}{3}\ln 2 - \dfrac{1}{6}\\ \Rightarrow a = 2,\,\,b = 3,\,\,c = 6\end{array}\)

Vậy \(S = \dfrac{{a + b}}{c} = \dfrac{{2 + 3}}{6} = \dfrac{5}{6}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.