Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AD \bot \left( {ABC} \right)\), \(AC = AD = 2\), \(AB = 1\) và \(BC = \sqrt 5 \). Tính

Câu hỏi số 483718:

Vận dụng

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AD \bot \left( {ABC} \right)\), \(AC = AD = 2\), \(AB = 1\) và \(BC = \sqrt 5 \). Tính khoảng cách \(d\) từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\).

A. \(d = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\)

B. \(d = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\)

C. \(d = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

D. \(d = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:483718

Phương pháp giải

- Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\), trong \(\left( {ADH} \right)\) kẻ \(AK \bot DH\,\,\left( {K \in DH} \right)\), chứng minh \(d = AK\).

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\), trong \(\left( {ADH} \right)\) kẻ \(AK \bot DH\,\,\left( {K \in DH} \right)\), ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot AD\,\,\left( {AD \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADH} \right) \Rightarrow BC \bot AK\\\left\{ \begin{array}{l}AK \bot DH\\AK \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right) = AH\end{array}\)

Xét tam giác \(ABC\) ta có \(A{B^2} + A{C^2} = {1^2} + {2^2} = 5 = B{C^2}\) \( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A\) (định lí Pytago đảo).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\) ta có \(AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{1.2}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ADH\) ta có \(AK = \dfrac{{AD.AH}}{{\sqrt {A{D^2} + A{H^2}} }} = \dfrac{{2.\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}}}{{\sqrt {4 + \dfrac{4}{5}} }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Vậy \(d = d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.