Cho các biểu thức: 1) \(A = \dfrac{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}} \cdot \cot x\) 2) \(B =

Câu hỏi số 483771:

Vận dụng

Cho các biểu thức:

1) \(A = \dfrac{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}} \cdot \cot x\)

2) \(B = 2{\cos ^4}x - {\sin ^4}x + {\sin ^2}x.{\cos ^2}x + 3{\sin ^2}x\)

3) \(C = \dfrac{2}{{\tan x - 1}} + \dfrac{{\cot x + 1}}{{\cot x - 1}}\)

Trong các biểu thức trên, có bao nhiêu biểu thức có giá trị không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\)?

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:483771

Phương pháp giải

Rút gọn các biểu thức trên, nếu kết quả rút ra bằng hằng số thì giá trị của biểu thức đó không phụ thuộc vào giá trị của \(x\).

Giải chi tiết

1) Ta có:

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}} \cdot \cot x\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos x}}{{2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + 2\sin x\cos x}} \cdot \dfrac{{{\rm{cosx}}}}{{\sin x}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\sin x\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{2\cos x\left( {\sin x + \cos x} \right)}} \cdot \dfrac{{{\rm{cosx}}}}{{\sin x}}\\\,\,\,\,\, = 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Giá trị của biểu thức \(A\) không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\).

2) Ta có:

\(\begin{array}{l}B = 2{\cos ^4}x - {\sin ^4}x + {\sin ^2}x{\cos ^2}x + 3{\sin ^2}x\\\,\,\,\, = 2{\cos ^4}x - {\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)^2} + \left( {1 - {{\cos }^2}x} \right){\cos ^2}x + 3\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\\\,\,\,\, = 2{\cos ^4}x - \left( {1 - 2{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right) + \left( {{{\cos }^2}x - {{\cos }^4}x} \right) + \left( {3 - 3{{\cos }^2}x} \right)\\\,\,\,\, = 2{\cos ^4}x - 1 + 2{\cos ^2}x - {\cos ^4}x + {\cos ^2}x - {\cos ^4}x + 3 - 3{\cos ^2}x\\\,\,\,\, = \left( {2{{\cos }^4}x - {{\cos }^4}x - {{\cos }^4}x} \right) + \left( {2{{\cos }^2}x + {{\cos }^2}x - 3{{\cos }^2}x} \right) + \left( {3 - 1} \right)\\\,\,\,\, = 2\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Giá trị của biểu thức \(B\) không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\).

3) Ta có:

\(\begin{array}{l}C = \dfrac{2}{{\tan x - 1}} + \dfrac{{\cot x + 1}}{{\cot x - 1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{2}{{\dfrac{1}{{\cot x}} - 1}} + \dfrac{{\cot x + 1}}{{\cot x - 1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\cot x}}{{1 - \cot x}} - \dfrac{{\cot x + 1}}{{1 - \cot x}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\cot x - \cot x - 1}}{{1 - \cot x}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\cot x - 1}}{{1 - \cot x}} = - 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Giá trị của biểu thức \(C\) không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\).

Vậy có \(3\) biểu thức có giá trị không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.