Cho biểu thức: \(A = \dfrac{{1 + \cos x}}{{\sin x}}\left[ {1 + \dfrac{{{{\left( {1 - \cos x} \right)}^2}}}{{{{\sin

Câu hỏi số 483770:

Vận dụng

Cho biểu thức: \(A = \dfrac{{1 + \cos x}}{{\sin x}}\left[ {1 + \dfrac{{{{\left( {1 - \cos x} \right)}^2}}}{{{{\sin }^2}x}}} \right]\)

Giá trị của biểu thức \(A\) nếu \(\cos x = - \dfrac{1}{2}\) và \(\dfrac{\pi }{2} < x < \pi \) là

A. \(\dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)

C. \(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\)

D. \(\dfrac{1}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:483770

Phương pháp giải

+ Rút gọn biểu thức \(A\)

+ Áp dụng \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) và bảng xét dấu để tìm \(\sin x\).

Giải chi tiết

\(A = \dfrac{{1 + \cos x}}{{\sin x}}\left[ {1 + \dfrac{{{{\left( {1 - \cos x} \right)}^2}}}{{{{\sin }^2}x}}} \right]\)

\( = \dfrac{{1 + \cos x}}{{\sin x}} \cdot \dfrac{{{{\sin }^2}x + 1 - 2\cos x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{1 + \cos x}}{{\sin x}} \cdot \dfrac{{2 - 2\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{1 + \cos x}}{{\sin x}} \cdot \dfrac{{2\left( {1 - \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 - \cos x} \right)}}{{{{\sin }^3}x}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)}}{{{{\sin }^3}x}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{2}{{\sin x}}\end{array}\)

Theo đề bài, ta có:

\({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{3}{4}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\\sin x = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)

Mà \(\dfrac{\pi }{2} < x < \pi \) nên \(\sin x > 0 \Rightarrow \sin x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Thay \(\sin x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\) vào biểu thức \(A\) ta có: \(A = \dfrac{2}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.