Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {2{x^2} + \left( {a + 4} \right)x + b + 3} \right|\). Đặt \(M = \mathop

Câu hỏi số 489468:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {2{x^2} + \left( {a + 4} \right)x + b + 3} \right|\). Đặt \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;3} \right]} f\left( x \right)\). Khi M đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức \(T = a + 4b\) là

A. \( - 42\)

B. \( - 41\)

C. 41

D. 42

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:489468

Giải chi tiết

Xét \(u = 2{x^2} + \left( {a + 4} \right)x + b + 3\) trên \(\left[ { - 2;3} \right]\) ta có \(u' = 0\) có \(x = - \dfrac{{a + 4}}{4}\)

+) TH1: Nếu \( - \dfrac{{a + 4}}{4} \notin \left[ { - 2;3} \right]\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a < - 16\\a > 4\end{array} \right.\)

Ta có \(M = \max \left( {\left| {u\left( { - 2} \right)} \right|;\left| {u\left( 3 \right)} \right|} \right) = \max \left\{ {\left| {2a - b - 3} \right|;\left| {3a + b + 33} \right|} \right\}\)

\( \ge \dfrac{{\left| {2a - b - 3} \right| + \left| {3a + b + 33} \right|}}{2} \ge \dfrac{{\left| {2a - b - 3 + 3a + b + 33} \right|}}{2} = \dfrac{{5\left| {a + 6} \right|}}{2} > 25\)

+) TH2: \( - \dfrac{{a + 4}}{4} \in \left[ { - 2;3} \right] \Rightarrow - 16 \le a \le 4\)

Ta có \(M = \max \left\{ {\left| {u\left( { - 2} \right)} \right|;\left| {u\left( 3 \right)} \right|;\left| {u\left( { - \dfrac{{a + 4}}{4}} \right)} \right|} \right\}\)

\(\begin{array}{l} = \max \left\{ {\left| { - 2a + b + 3} \right|;\left| {3a + b + 33} \right|;\left| {\dfrac{{{a^2}}}{8} + a - b - 1} \right|} \right\}\\ \ge \dfrac{{\left| { - 2a + b + 3} \right| + \left| {3a + + b + 33} \right| + \left| {\dfrac{{{a^2}}}{8} + a - b - 1} \right|}}{4}\\ \ge \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{16}} + \dfrac{{25}}{4} \ge \dfrac{{25}}{4}\end{array}\)

Vậy \(\min M = \dfrac{{25}}{4}\).

Dấu bằng xảy ra khi \(\left| { - 2a + b + 3} \right| = \left| {3a + + b + 33} \right| = \left| {\dfrac{{{a^2}}}{3} + a - b - 1} \right|\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 6\\b = - \dfrac{{35}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow a + 4b = - 41\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.