Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {4; - 2;5} \right)\) và điểm \(B\left( {a;b;c} \right)\). Gọi

Câu hỏi số 492180:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {4; - 2;5} \right)\) và điểm \(B\left( {a;b;c} \right)\). Gọi \(C,\,\,D,\,\,E\) lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng \(AB\) và các mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x = 2,\,\,\left( Q \right):\,\,y = 2;\,\,\left( R \right):\,\,z = 2\) sao cho \(AC = 4CD = 4DE = EB\). Độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng:

A. \(\sqrt {37} \)

B. \(\sqrt {111} \)

C. \(\sqrt {38} \)

D. \(\sqrt {114} \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:492180

Giải chi tiết

Ta có: \(C,\,\,D,\,\,E\) lần lượt là giao điểm của \(AB\) với các mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x = 2,\,\,\left( Q \right):\,\,y = 2;\,\,\left( R \right):\,\,z = 2\)

\( \Rightarrow C\left( {2;{y_C};{z_C}} \right),\,\,D\left( {{x_D};2;{z_D}} \right),\,\,E\left( {{x_E};{y_E};2} \right)\).

Ta có: \(AC = 4CD = 4DE = EB\) \( \Rightarrow D\) là trung điểm của \(CE\)

\( \Rightarrow D\left( {\dfrac{{2 + {x_E}}}{2};\dfrac{{{y_C} + {y_E}}}{2};\dfrac{{{z_C}}}{2}} \right) \Rightarrow \dfrac{{{y_C} + {y_E}}}{2} = 2 \Leftrightarrow {y_C} + {y_E} = 4\).

Lại có \(\overrightarrow {AC} = 4\overrightarrow {CD} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - 4 = 4\left( {{x_D} - {x_C}} \right)\\{y_C} + 2 = 4\left( {2 - {y_C}} \right)\\{z_C} - 5 = 4\left( {{z_D} - {z_C}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} - {x_D} = \dfrac{1}{2}\\{y_C} = \dfrac{6}{5}\\5{z_C} - 4{z_D} = 5\end{array} \right.\)

Mà \(5{z_C} - 4{z_D} = 5\) và \({z_D} = \dfrac{{{z_C} + 2}}{2}\) \( \Rightarrow 5{z_C} - 4.\dfrac{{{z_C} + 2}}{2} = 5 \Leftrightarrow {z_C} = 3\) \( \Rightarrow C\left( {2;\dfrac{6}{5};3} \right)\).

Lại có \(\overrightarrow {AC} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow {AB} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - 4 = \dfrac{2}{5}\left( {a - 4} \right)\\\dfrac{6}{5} + 2 = \dfrac{2}{5}\left( {b + 2} \right)\\3 - 5 = \dfrac{2}{5}\left( {c - 5} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 6\\c = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow B\left( { - 1;6;0} \right)\).

Vậy \(AB = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {8^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} = \sqrt {114} \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.