Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \({z^3} + 2i{\left| z \right|^2} = 0\)?

Câu hỏi số 492185:

Vận dụng

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(4\)

D. \(5\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:492185

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức \({\left| z \right|^2} = z.\overline z \), đưa phương trình về dạng tích.

- Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\), thay vào giải phương trình tìm số cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}{z^3} + 2i{\left| z \right|^2} = 0 \Leftrightarrow {z^3} + 2iz.\overline z = 0\\ \Leftrightarrow z\left( {{z^2} + 2i\overline z } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\\{z^2} + 2i\overline z = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\), thay vào (*) ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {x + yi} \right)^2} + 2i\left( {x - yi} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi + 2xi + 2y = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - {y^2} + 2y} \right) + 2x\left( {y + 1} \right)i = 0\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} + 2y = 0\\2x\left( {y + 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} + 2y = 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 0\\{y^2} - 2y = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0 \Rightarrow z = 0\\y = 2 \Rightarrow z = 2i\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}y = - 1\\{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 \Rightarrow z = \pm \sqrt 3 - i\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có 4 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.