Có bao nhiêu giá trị thực của \(m\) để có đúng một số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 1 - 3i}

Câu hỏi số 492193:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị thực của \(m\) để có đúng một số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 1 - 3i} \right| = m\) và \(\dfrac{z}{{z - 4}}\) là số thuần ảo?

A. \(3\)

B. \(0\)

C. \(1\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:492193

Phương pháp giải

- Đặt \(z = x + yi\) , từ giả thiết \(\dfrac{z}{{z - 4}}\) là số thuần ảo suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\).

- Từ giả thiết \(\left| {z + 1 - 3i} \right| = m\) cũng suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\).

- Tìm điều kiện để 2 tập hợp trên giao nhau tại đúng 1 điểm.

- Điều kiện để 2 đường tròn \(\left( {{I_1};{R_1}} \right)\) và \(\left( {{I_2};{R_2}} \right)\) tiếp xúc nhau là: \(\left[ \begin{array}{l}{I_1}{I_2} = {R_1} + {R_2}\\{I_1}{I_2} = \left| {{R_1} - {R_2}} \right|\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

Đặt \(z = x + yi\) ta có

\(\begin{array}{l}\dfrac{z}{{z - 4}} = \dfrac{{x + yi}}{{x + yi - 4}} = \dfrac{{x + yi}}{{x - 4 + yi}}\\ = \dfrac{{\left( {x + yi} \right)\left( {x - 4 - yi} \right)}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {y^2}}}\\ = \dfrac{{{x^2} - 4x - xyi + xyi - 4yi + {y^2}}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {y^2}}}\\ = \dfrac{{{x^2} + {y^2} - 4x - 4yi}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {y^2}}}\end{array}\)

Vì \(\dfrac{z}{{z - 4}}\) là số thuần ảo nên \(\dfrac{{{x^2} + {y^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {y^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x = 0\).

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {2;0} \right)\), bán kính \({R_1} = 2\).

Lại có \(\left| {z + 1 - 3i} \right| = m\) nên tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( { - 1;3} \right)\), bán kính \({R_2} = m > 0\).

Để có duy nhất 1 điểm số phức \(z\) thỏa mãn thì 2 đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) phải tiếp xúc nhau.

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{I_1}{I_2} = {R_1} + {R_2}\\{I_1}{I_2} = \left| {{R_1} - {R_2}} \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3\sqrt 2 = 2 + m\\3\sqrt 2 = \left| {2 - m} \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\sqrt 2 - 2\\2 - m = 3\sqrt 2 \\2 - m = - 3\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\sqrt 2 - 2\\m = 2 - 3\sqrt 2 \,\,\left( {ktm\,\,do\,\,m \ge 0} \right)\\m = 2 + 3\sqrt 2 \end{array} \right.\).

Vậy có 2 giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.