Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\overline z = {z^3}\)?

Câu hỏi số 493523:

Vận dụng

A. \(5\)

B. \(4\)

C. \(2\)

D. \(7\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:493523

Giải chi tiết

Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a - bi\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\overline z = {z^3} \Leftrightarrow a - bi = {\left( {a + bi} \right)^3}\\ \Leftrightarrow a - bi = {a^3} + 3{a^2}bi - 3a{b^2} - {b^3}i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {a^3} - 3a{b^2}\\ - b = 3{a^2}b - {b^3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a\left( {{a^2} - 3{b^2} - 1} \right) = 0\\b\left( {3{a^2} - {b^2} + 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = 0\\{a^2} - 3{b^2} = 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}b = 0\\3{a^2} - {b^2} = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(a = b = 0 \Rightarrow z = 0\).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\3{a^2} - {b^2} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = \pm 1\end{array} \right. \Rightarrow z = \pm i\).

TH3: \(\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\{a^2} - 3{b^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a = \pm 1\end{array} \right. \Rightarrow z = \pm 1\)

TH4: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 3{b^2} = 1\\3{a^2} - {b^2} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow 4\left( {{a^2} - {b^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow a = \pm b\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \pm b\\ - 2{b^2} = 1\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right.\).

Vậy có tất cả 5 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.