Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{{\left( {x + \sqrt

Câu hỏi số 494414:

Vận dụng

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^{2021}}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) và \(F\left( 0 \right) = 1.\) Giá trị của \(F\left( 1 \right)\) bằng

A. \(\dfrac{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^{2020}} - 2021}}{{2020}}\)

B. \(\dfrac{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^{2021}} + 2020}}{{2021}}\)

C. \(\dfrac{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^{2020}} + 2021}}{{2020}}\)

D. \(\dfrac{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^{2021}} - 2020}}{{2021}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:494414

Giải chi tiết

Đặt \(x + \sqrt {{x^2} + 1} = t \Rightarrow \left( {1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right)dx = dt\)

\( \Rightarrow \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx = dt \Rightarrow \dfrac{t}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx = dt \Rightarrow \dfrac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \dfrac{{dt}}{t}\)

Khi đó: \(x:0 \to 1\,\,\, \Rightarrow \,\,t:1 \to 1 + \sqrt 2 \)

\(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^{2021}}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx = \int\limits_1^{1 + \sqrt 2 } {\dfrac{{{t^{2021}}}}{t}dt = \int\limits_1^{1 + \sqrt 2 } {{t^{2020}}dt} } } = \left. {\dfrac{{{t^{2021}}}}{{2021}}} \right|_1^{1 + \sqrt 2 } = \dfrac{1}{{2021}}.\left[ {{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^{2021}} - 1} \right]\)

\( = F\left( 1 \right) - F\left( 0 \right) \Rightarrow F\left( 1 \right) = \dfrac{1}{{2021}}.\left[ {{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^{2021}} - 1} \right] + 1 = \dfrac{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^{2021}} + 2020}}{{2021}}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.