Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,\,\,N\) là hai điểm lần lượt

Câu hỏi số 497906:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,\,\,N\) là hai điểm lần lượt nằm trên các đoạn thẳng \(AB\) và \(AD\) (\(M,\,\,N\) không trùng \(A\)) sao cho \(\dfrac{{AB}}{{AM}} + 2\dfrac{{AD}}{{AN}} = 4\). Gọi \(V\) và \(V'\) lần lượt là thể tích của các khối chóp \(S.ABCD\) và \(S.MBCDN\). Giá trị lớn nhất của \(\dfrac{{V'}}{V}\) bằng:

A. \(\dfrac{1}{3}\)

B. \(\dfrac{1}{2}\)

C. \(\dfrac{3}{4}\)

D. \(\dfrac{2}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:497906

Giải chi tiết

Đặt \(\dfrac{{AB}}{{AM}} = x,\,\,\dfrac{{AD}}{{AN}} = y\,\,\left( {x,y > 0} \right) \Rightarrow x + 2y = 4\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{S_{\Delta AMN}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}d\left( {M,AD} \right).AN}}{{d\left( {B,AD} \right).AD}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{AM}}{{AB}}.\dfrac{{AN}}{{AD}} = \dfrac{1}{{2xy}}\\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{MBCDN}}}}{{{S_{ABCD}}}} = 1 - \dfrac{{{S_{\Delta AMN}}}}{{{S_{ABCD}}}} = 1 - \dfrac{1}{{2xy}}\end{array}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.MBCDN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{{S_{MBCDN}}}}{{{S_{ABCD}}}} = 1 - \dfrac{1}{{2xy}} = \dfrac{{V'}}{V}\).

Áp dụng BĐT \(ab \le {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2}\) cho hai số dương x, 2y ta có: \(x.\left( {2y} \right) \le {\left( {\dfrac{{x + 2y}}{2}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{4}{2}} \right)^2} = 4\).

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{2xy}} \ge \dfrac{1}{4} \Rightarrow 1 - \dfrac{1}{{2xy}} \le \dfrac{3}{4}\) \( \Rightarrow \dfrac{{V'}}{V} \le \dfrac{3}{4}\).

Vậy \(\max \dfrac{{V'}}{V} = \dfrac{3}{4}\). Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2y\\x + 2y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = 2AM\\AD = AN\end{array} \right.\) => M là trung điểm của AB, \(N \equiv D\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.