Cho \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\) và \(a + b + c \ne 0\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{a^2} +

Câu hỏi số 499136:

Vận dụng cao

Cho \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\) và \(a + b + c \ne 0\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:499136

Phương pháp giải

Vận dụng hằng đẳng thức và một số biến đổi đơn gian để biến đổi giả thiết đề bài về dạng phù hợp, từ đó rút gọn được biểu thức.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^3} + {c^3} - 3ab\left( {a + b} \right) - 3abc = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^3} + {c^3} - 3ab\left( {a + b + c} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^3} - 3\left( {a + b} \right)c\left( {a + b + c} \right) - 3ab\left( {a + b + c} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right) = 0\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = 0\,\,\,\left( {Do\,a + b + c \ne 0\,} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}A = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right)}}\\ = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}\\ = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} = \frac{1}{3}\end{array}\)

Vậy \(A = \frac{1}{3}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link