Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{2}\) và

Câu hỏi số 499844:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{2}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - z + 3 = 0\). Hình chiếu vuông góc của \(d\) trên \(\left( P \right)\) là đường thẳng có phương trình:

A. \(\dfrac{{x + 1}}{4} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{{z - 1}}{{13}}\)

B. \(\dfrac{{x + 1}}{3} = \dfrac{y}{{ - 5}} = \dfrac{{z - 1}}{1}\)

C. \(\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{y}{{ - 5}} = \dfrac{{z + 1}}{1}\)

D. \(\dfrac{{x - 1}}{4} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{{z + 1}}{{13}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:499844

Phương pháp giải

Tìm giao điểm \(I\) của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right).\)

Lấy điểm \(A\) bất kì thuộc đường thẳng \(d.\) Lập phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\).

Tìm tọa độ giao điểm \(H\) của \(\Delta \) và \(\left( P \right).\)

Đường thẳng \(IH\) chính là hình chiếu vuông góc của \(d\) trên \(\left( P \right).\)

Giải chi tiết

Gọi giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là điểm \(I.\)

Do \(I \in d \Rightarrow I\left( { - 1 + t;t;1 + 2t} \right)\). Mà \(I \in \left( P \right)\)

\( \Rightarrow 2\left( { - 1 + t} \right) + t - \left( {1 + 2t} \right) + 3 = 0 \Rightarrow - 2 + 2t + t - 1 - 2t + 3 = 0 \Rightarrow t = 0\)\( \Rightarrow I\left( { - 1;0;1} \right)\)

Lấy \(A\left( {1;2;5} \right) \in d\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right) \Rightarrow {\overrightarrow u _\Delta } = {\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {2;1; - 1} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + t\\z = 5 - t\end{array} \right.\)

Gọi \(H\) là giao điểm của \(\Delta \) và \(\left( P \right) \Rightarrow H\left( {1 + 2t;2 + t;5 - t} \right)\)

Mà \(H \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {1 + 2t} \right) + 2 + t - \left( {5 - t} \right) + 3 = 0 \Rightarrow 6t = - 2 \Rightarrow t = - \dfrac{1}{3}\)\( \Rightarrow H\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3};\dfrac{{16}}{3}} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {IH} = \left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{5}{3};\dfrac{{13}}{3}} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(d'\) qua \(I\) và nhận \(3\overrightarrow {IH} \) làm vtcp: \(\dfrac{{x + 1}}{4} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{{z - 1}}{{13}}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.