Thầy Du viết số \({2020^{2021}}\) thành tổng của các số nguyên dương rồi đem cộng tất cả các

Câu hỏi số 502719:

Vận dụng cao

Thầy Du viết số \({2020^{2021}}\) thành tổng của các số nguyên dương rồi đem cộng tất cả các chữ số của các số nguyên dương này với nhau. Hỏi thầy Du có thể nhận được kết quả là số \(2021\) hoặc \(2022\) được không? Tại sao?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502719

Phương pháp giải

Sử dụng bổ đề: Cho số nguyên dương \(m\), kí hiệu \(S\left( m \right)\) là tổng các chữ số của \(m\). Khi đó \(S\left( m \right) \equiv m\left( {\bmod 9} \right)\).

Giải chi tiết

Bổ đề: Cho số nguyên dương \(m\), kí hiệu \(S\left( m \right)\) là tổng các chữ số của \(m\). Khi đó \(S\left( m \right) \equiv m\left( {\bmod 9} \right)\).

Chứng minh: Giả sử \(m = \overline {{a_k}{a_{k - 1}}...{a_1}{a_0}} = {a_k}{.10^k} + {a_{k - 1}}{.10^{k - 1}} + ... + {a_1}.10 + {a_0}\)

\( \equiv {a_k} + {a_{k - 1}} + ... + {a_1} + {a_0}\left( {\bmod 9} \right) \Rightarrow S\left( m \right) \equiv m\left( {\bmod 9} \right)\).

Ta có \(2020 \equiv 4\left( {\bmod 9} \right) \Rightarrow {2020^{2021}} \equiv {4^{2021}}\left( {\bmod 9} \right) \equiv {4^{3.673 + 2}}\left( {\bmod 9} \right)\)

Do \({4^3} \equiv 1\left( {\bmod 9} \right)\)\( \Rightarrow {2020^{2021}} \equiv {4^2}\left( {\bmod 9} \right) \equiv 7\left( {\bmod 9} \right)\)

Mặt khác \(2021 \equiv 5\left( {\bmod 9} \right),2022 \equiv 6\left( {\bmod 9} \right)\)

Từ đó suy ra \({2020^{2021}}\cancel{ \equiv }2021\left( {\bmod 9} \right)\), \({2020^{2021}}\cancel{ \equiv }2022\left( {\bmod 9} \right)\).

Do đó thầy Du không nhận được kết quả là 2021 và 2022.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link