Hoàn thành Giải Câu sau:

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng

Cho biểu thức \(A = \frac{{3x + 5\sqrt {x - 1} - 14}}{{x - 3 + \sqrt {x - 1} }} - \frac{{\sqrt {x - 1} - 2}}{{\sqrt {x - 1} - 1}} - \frac{{\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {x - 1} + 2}}\left( {x \ge 1;x \ne 2} \right)\) a) Rút gọn biểu thức \(A\). b) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(A\) nhận giá trị là số nguyên .

Xem lời giải

Câu hỏi:502747

Phương pháp giải

Phương pháp miền giá trị của biểu thức

Giải chi tiết

a) \(A = \frac{{3x + 5\sqrt {x - 1} - 14}}{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 2} \right)}} - \frac{{\sqrt {x - 1} - 2}}{{\sqrt {x - 1} - 1}} - \frac{{\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {x - 1} + 2}}\)

\(\begin{array}{l}A = \frac{{x + 6\sqrt {x - 1} - 8}}{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 2} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 7} \right)}}{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 2} \right)}}\\A = \frac{{\sqrt {x - 1} + 7}}{{\sqrt {x - 1} + 2}}\end{array}\)

Vậy \(A = \frac{{\sqrt {x - 1} + 7}}{{\sqrt {x - 1} + 2}},\)với điều kiện \(x \ge 1,x \ne 2\).

b) Ta có: \(A = 1 + \frac{5}{{\sqrt {x - 1} + 2}}.\)Với \(x \ge 1,x \ne 2 \Rightarrow 0 < \frac{5}{{\sqrt {x - 1} + 2}} \le \frac{5}{2}\)

Vì \(A\) nhận giá trị nguyên nên \(\frac{5}{{\sqrt {x - 1} + 2}}\) nhận giá trị nguyên nên:

\(\begin{array}{l}TH1:\frac{5}{{\sqrt {x - 1} + 2}} = 1 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 3 \Leftrightarrow x = 10(tm)\\TH2:\frac{5}{{\sqrt {x - 1} + 2}} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{5}{4}(tm)\end{array}\)

Vậy \(x \in \left\{ {\frac{5}{4};10} \right\}\) thỏa mãn đề bài.

Câu hỏi số 2:

Vận dụng

Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = - mx + 2 - m\)(\(m\) là tham số). Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\)cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) sao cho biểu thức \(T = \frac{1}{{{{\left( {{x_1} + 1} \right)}^4}}} + \frac{1}{{{{\left( {{x_2} + 1} \right)}^4}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi:502748

Phương pháp giải

Sử dụng hệ thức Vi – et và bất đẳng thức AM – GM

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\)và \(\left( d \right)\) là :

\({x^2} = - mx + 2 - m \Leftrightarrow {x^2} + mx + m - 2 = 0\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\Delta = {m^2} - 4\left( {m - 2} \right) = {m^2} - 4m + 8 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 4 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\)

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) với mọi \(m \in \mathbb{R}.\) Suy ra \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\).

Nhận xét: \({x_1},{x_2}\) khác \( - 1\) vì \({\left( { - 1} \right)^2} + m.\left( { - 1} \right) + m - 2 = - 1 \ne 0\) nên biểu thức \(T\) luôn xác định.

Theo định lý Vi – et, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - m\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right.\)

Ta có: \({\left( {{x_1} + 4} \right)^4}.{\left( {{x_2} + 1} \right)^4} = {\left[ {{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1} \right]^4} = {\left[ {m - 2 + \left( { - m} \right) + 1} \right]^4} = 1\)

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

\(T = \frac{1}{{{{\left( {{x_1} + 1} \right)}^4}}} + \frac{1}{{{{\left( {{x_2} + 1} \right)}^4}}} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{{{\left( {{x_1} + 1} \right)}^4}}}.\frac{1}{{{{\left( {{x_2} + 1} \right)}^4}}}} \Rightarrow T \ge 2\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {{x_1} + 1} \right)^4} = {\left( {{x_2} + 1} \right)^4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} + 1 = {x_2} + 1\\{x_1} + 1 = - \left( {{x_2} + 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{x_1} + {x_2} = - 2\end{array} \right.\)

Vì \({x_1} \ne {x_2} \Rightarrow {x_1} + {x_2} = - 2 \Leftrightarrow - m = - 2 \Leftrightarrow m = 2(tm)\)

Vậy \(m = 2\).

Quảng cáo

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link