Hoàn thành Giải Câu sau:

Trả lời cho các câu 502746, 502747 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng

Cho biểu thức

A = \frac{3 x + 5 \sqrt{x - 1} - 14}{x - 3 + \sqrt{x - 1}} - \frac{\sqrt{x - 1} - 2}{\sqrt{x - 1} - 1} - \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1} + 2} (x \geq 1; x \neq 2)

$A = \frac{{3x + 5\sqrt {x - 1} - 14}}{{x - 3 + \sqrt {x - 1} }} - \frac{{\sqrt {x - 1} - 2}}{{\sqrt {x - 1} - 1}} - \frac{{\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {x - 1} + 2}}\left( {x \ge 1;x \ne 2} \right)$ a) Rút gọn biểu thức

A

$A$ . b) Tìm tất cả các giá trị của

x

$x$ để

A

$A$ nhận giá trị là số nguyên .

Xem lời giải

Câu hỏi:502747

Phương pháp giải

Phương pháp miền giá trị của biểu thức

Giải chi tiết

a) $A = \frac{{3x + 5\sqrt {x - 1} - 14}}{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 2} \right)}} - \frac{{\sqrt {x - 1} - 2}}{{\sqrt {x - 1} - 1}} - \frac{{\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {x - 1} + 2}}$

$\begin{array}{l}A = \frac{{x + 6\sqrt {x - 1} - 8}}{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 2} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 7} \right)}}{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 2} \right)}}\\A = \frac{{\sqrt {x - 1} + 7}}{{\sqrt {x - 1} + 2}}\end{array}$

Vậy $A = \frac{{\sqrt {x - 1} + 7}}{{\sqrt {x - 1} + 2}},$ với điều kiện $x \ge 1,x \ne 2$ .

b) Ta có: $A = 1 + \frac{5}{{\sqrt {x - 1} + 2}}.$ Với $x \ge 1,x \ne 2 \Rightarrow 0 < \frac{5}{{\sqrt {x - 1} + 2}} \le \frac{5}{2}$

Vì $A$ nhận giá trị nguyên nên $\frac{5}{{\sqrt {x - 1} + 2}}$ nhận giá trị nguyên nên:

$\begin{array}{l}TH1:\frac{5}{{\sqrt {x - 1} + 2}} = 1 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 3 \Leftrightarrow x = 10(tm)\\TH2:\frac{5}{{\sqrt {x - 1} + 2}} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{5}{4}(tm)\end{array}$

Vậy $x \in \left\{ {\frac{5}{4};10} \right\}$ thỏa mãn đề bài.

Câu hỏi số 2:

Vận dụng

Cho parabol

$\left( P \right):y = {x^2}$ và đường thẳng

$\left( d \right):y = - mx + 2 - m$ (

$m$ là tham số). Tìm

$m$ để đường thẳng

$\left( d \right)$ cắt

$\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ

${x_1},{x_2}$ sao cho biểu thức

$T = \frac{1}{{{{\left( {{x_1} + 1} \right)}^4}}} + \frac{1}{{{{\left( {{x_2} + 1} \right)}^4}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi:502748

Phương pháp giải

Sử dụng hệ thức Vi – et và bất đẳng thức AM – GM

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ là :

${x^2} = - mx + 2 - m \Leftrightarrow {x^2} + mx + m - 2 = 0\left( 1 \right)$

Ta có: $\Delta = {m^2} - 4\left( {m - 2} \right) = {m^2} - 4m + 8 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 4 > 0,\forall m \in \mathbb{R}$

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ với mọi $m \in \mathbb{R}.$ Suy ra $\left( d \right)$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${x_1},{x_2}$ .

Nhận xét: ${x_1},{x_2}$ khác $- 1$ vì ${\left( { - 1} \right)^2} + m.\left( { - 1} \right) + m - 2 = - 1 \ne 0$ nên biểu thức $T$ luôn xác định.

Theo định lý Vi – et, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - m\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right.$

Ta có: ${\left( {{x_1} + 4} \right)^4}.{\left( {{x_2} + 1} \right)^4} = {\left[ {{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1} \right]^4} = {\left[ {m - 2 + \left( { - m} \right) + 1} \right]^4} = 1$

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

$T = \frac{1}{{{{\left( {{x_1} + 1} \right)}^4}}} + \frac{1}{{{{\left( {{x_2} + 1} \right)}^4}}} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{{{\left( {{x_1} + 1} \right)}^4}}}.\frac{1}{{{{\left( {{x_2} + 1} \right)}^4}}}} \Rightarrow T \ge 2$ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ${\left( {{x_1} + 1} \right)^4} = {\left( {{x_2} + 1} \right)^4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} + 1 = {x_2} + 1\\{x_1} + 1 = - \left( {{x_2} + 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{x_1} + {x_2} = - 2\end{array} \right.$

Vì ${x_1} \ne {x_2} \Rightarrow {x_1} + {x_2} = - 2 \Leftrightarrow - m = - 2 \Leftrightarrow m = 2(tm)$

Vậy $m = 2$ .

Quảng cáo

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.