Hoàn thành bài tập sau:

Trả lời cho các câu 502757, 502758 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng

Chứng minh rằng với mọi giá trị dương, khác 1 của

x

$x$ thì biểu thức

A = (\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}) (\frac{1}{4 \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{4}) - \frac{3}{x - 2 \sqrt{x} + 9}

$A = \left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)\left( {\frac{1}{{4\sqrt x }} - \frac{{\sqrt x }}{4}} \right) - \frac{3}{{x - 2\sqrt x + 9}}$ không nhận giá trị nguyên.

Xem lời giải

Câu hỏi:502758

Phương pháp giải

Ta sẽ chứng minh $k < A < k + 1$ với $k \in \mathbb{Z}$ .

Giải chi tiết

Với mọi $x$ dương và khác 1, ta có:

$\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)\left( {\frac{1}{{4\sqrt x }} - \frac{{\sqrt x }}{4}} \right) - \frac{3}{{x - 2\sqrt x + 9}}\\A = \frac{{x - 2\sqrt x + 1 - x - 2\sqrt x - 1}}{{x - 1}}.\frac{{1 - x}}{{4\sqrt 2 }} - \frac{3}{{x - 2\sqrt x + 9}}\\A = 1 - \frac{3}{{x - 2\sqrt x + 9}}\end{array}$

Vì vậy, biểu thức $A$ nhận giá trị nguyên $\Leftrightarrow$ biểu thức $B = \frac{3}{{x - 2\sqrt x + 9}}$ nhận giá trị nguyên

Mặt khác, ta có $x - 2\sqrt x + 9 = {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} + 8 \ge 8 \Rightarrow 0 < B \le \frac{3}{8} < 1$ suy ra $B$ không thể nhận giá trị nguyên, nên $A$ không thể nhận giá trị nguyên.

Câu hỏi số 2:

Vận dụng

Xét các bộ số

$\left( {x;y;z} \right)$ thỏa mãn

$\frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}}$ với

$a,b,c$ là các số khác

$0$ . Tính giá trị của biểu thức

$Q = \frac{{{x^{2020}}}}{{{b^2}{c^2}}} + \frac{{{y^{2020}}}}{{{c^2}{a^2}}} + \frac{{{z^{2020}}}}{{{a^2}{b^2}}}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi:502759

Phương pháp giải

Từ giả thiết, biến đổi và đánh giá ta được $x = y = z = 0$

Giải chi tiết

Với $a,b,c \ne 0$ ta có biểu thức $\frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}}\left( * \right)$ tương đương với:

$\begin{array}{l}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}}} \right) = {x^2} + {y^2} + {z^2}\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {\frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}}} \right) + {y^2}\left( {\frac{{{c^2} + {a^2}}}{{{b^2}}}} \right) + {z^2}\left( {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2}}}} \right) = 0\end{array}$

Ta có các biểu thức $\left( {\frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}}} \right),\left( {\frac{{{c^2} + {a^2}}}{{{b^2}}}} \right),\left( {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2}}}} \right)$ đều lớn hơn 0

Suy ra $x = y = z = 0 \Rightarrow Q = 0$ .

Quảng cáo

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.