Hoàn thành bài tập sau:

Trả lời cho các câu 502757, 502758 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng

Chứng minh rằng với mọi giá trị dương, khác 1 của \(x\) thì biểu thức \(A = \left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)\left( {\frac{1}{{4\sqrt x }} - \frac{{\sqrt x }}{4}} \right) - \frac{3}{{x - 2\sqrt x + 9}}\) không nhận giá trị nguyên.

Xem lời giải

Câu hỏi:502758

Phương pháp giải

Ta sẽ chứng minh \(k < A < k + 1\) với \(k \in \mathbb{Z}\).

Giải chi tiết

Với mọi \(x\)dương và khác 1, ta có:

\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)\left( {\frac{1}{{4\sqrt x }} - \frac{{\sqrt x }}{4}} \right) - \frac{3}{{x - 2\sqrt x + 9}}\\A = \frac{{x - 2\sqrt x + 1 - x - 2\sqrt x - 1}}{{x - 1}}.\frac{{1 - x}}{{4\sqrt 2 }} - \frac{3}{{x - 2\sqrt x + 9}}\\A = 1 - \frac{3}{{x - 2\sqrt x + 9}}\end{array}\)

Vì vậy, biểu thức \(A\) nhận giá trị nguyên \( \Leftrightarrow \) biểu thức \(B = \frac{3}{{x - 2\sqrt x + 9}}\) nhận giá trị nguyên

Mặt khác, ta có \(x - 2\sqrt x + 9 = {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} + 8 \ge 8 \Rightarrow 0 < B \le \frac{3}{8} < 1\)suy ra \(B\) không thể nhận giá trị nguyên, nên \(A\) không thể nhận giá trị nguyên.

Câu hỏi số 2:

Vận dụng

Xét các bộ số \(\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn \(\frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}}\) với \(a,b,c\) là các số khác \(0\). Tính giá trị của biểu thức \(Q = \frac{{{x^{2020}}}}{{{b^2}{c^2}}} + \frac{{{y^{2020}}}}{{{c^2}{a^2}}} + \frac{{{z^{2020}}}}{{{a^2}{b^2}}}\).

Xem lời giải

Câu hỏi:502759

Phương pháp giải

Từ giả thiết, biến đổi và đánh giá ta được \(x = y = z = 0\)

Giải chi tiết

Với \(a,b,c \ne 0\) ta có biểu thức \(\frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}}\left( * \right)\) tương đương với:

\(\begin{array}{l}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}}} \right) = {x^2} + {y^2} + {z^2}\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {\frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}}} \right) + {y^2}\left( {\frac{{{c^2} + {a^2}}}{{{b^2}}}} \right) + {z^2}\left( {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2}}}} \right) = 0\end{array}\)

Ta có các biểu thức \(\left( {\frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}}} \right),\left( {\frac{{{c^2} + {a^2}}}{{{b^2}}}} \right),\left( {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2}}}} \right)\) đều lớn hơn 0

Suy ra \(x = y = z = 0 \Rightarrow Q = 0\).

Quảng cáo

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.