Cho \(a,b,c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng:\(\frac{{{a^2}}}{{5{a^2} + {{\left( {b + c}

Câu hỏi số 502756:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng:

\(\frac{{{a^2}}}{{5{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{5{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{5{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}} \le \frac{1}{3}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502756

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Giải chi tiết

Đặt \(P = \frac{{{a^2}}}{{5{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{5{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{5{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

\(\begin{array}{l}\left[ {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + \left( {2{a^2} + bc} \right) + \left( {2{a^2} + bc} \right)} \right].\left( {\frac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \frac{1}{{2{a^2} + bc}} + \frac{1}{{2{a^2} + bc}}} \right) \ge 9\\\frac{{9{a^2}}}{{5{b^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}} = \frac{{9{a^2}}}{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + \left( {2{a^2} + bc} \right) + \left( {2{a^2} + bc} \right)}} \le {a^2}\left( {\frac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \frac{2}{{2{a^2} + bc}}} \right)\end{array}\)

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{{9{b^2}}}{{5{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}} \le {b^2}\left( {\frac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \frac{2}{{2{b^2} + ac}}} \right)\\\frac{{9{c^2}}}{{5{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}} \le {c^2}\left( {\frac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \frac{2}{{2{c^2} + ab}}} \right)\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\frac{{9{a^2}}}{{5{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{9{b^2}}}{{5{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \frac{{9{c^2}}}{{5{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}} \le 1 + \left( {\frac{{2{a^2}}}{{2{a^2} + bc}} + \frac{{2{b^2}}}{{2{b^2} + ca}} + \frac{{2{c^2}}}{{2{c^2} + ab}}} \right)\)

Suy ra\(9P \le 4 - \left( {\frac{{bc}}{{2{a^2} + bc}} + \frac{{ca}}{{2{b^2} + ca}} + \frac{{ab}}{{2{c^2} + ab}}} \right)\)

Ta có :

\(\frac{{bc}}{{2{a^2} + bc}} + \frac{{ca}}{{2{b^2} + ca}} + \frac{{ab}}{{2{c^2} + ab}} = \frac{{{b^2}{c^2}}}{{2{a^2}bc + {b^2}{c^2}}} + \frac{{{c^2}{a^2}}}{{2a{b^2}c + {c^2}{a^2}}} + \frac{{{a^2}{b^2}}}{{2ab{c^2} + {a^2}{b^2}}}\)

Áp dụng bất đẳng thức (2) ta được:

\(\frac{{{b^2}{c^2}}}{{2{a^2}bc + {b^2}{c^2}}} + \frac{{{c^2}{a^2}}}{{2a{b^2}c + {c^2}{a^2}}} + \frac{{{a^2}{b^2}}}{{2ab{c^2} + {a^2}{b^2}}} \ge \frac{{{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + 2{a^2}bc + 2a{b^2}c + 2ab{c^2}}} = \frac{{{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2}}}{{{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2}}} = 1\)

Vậy \(9P \le 4 - 1 \Rightarrow P \le \frac{1}{3}\). Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link