Cho \(a,b,c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng:\(\frac{{{a^2}}}{{5{a^2} + {{\left( {b + c}

Câu hỏi số 502756:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng:

\(\frac{{{a^2}}}{{5{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{5{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{5{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}} \le \frac{1}{3}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502756

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Giải chi tiết

Đặt \(P = \frac{{{a^2}}}{{5{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{5{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{5{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

\(\begin{array}{l}\left[ {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + \left( {2{a^2} + bc} \right) + \left( {2{a^2} + bc} \right)} \right].\left( {\frac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \frac{1}{{2{a^2} + bc}} + \frac{1}{{2{a^2} + bc}}} \right) \ge 9\\\frac{{9{a^2}}}{{5{b^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}} = \frac{{9{a^2}}}{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + \left( {2{a^2} + bc} \right) + \left( {2{a^2} + bc} \right)}} \le {a^2}\left( {\frac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \frac{2}{{2{a^2} + bc}}} \right)\end{array}\)

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{{9{b^2}}}{{5{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}} \le {b^2}\left( {\frac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \frac{2}{{2{b^2} + ac}}} \right)\\\frac{{9{c^2}}}{{5{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}} \le {c^2}\left( {\frac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \frac{2}{{2{c^2} + ab}}} \right)\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\frac{{9{a^2}}}{{5{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{9{b^2}}}{{5{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \frac{{9{c^2}}}{{5{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}} \le 1 + \left( {\frac{{2{a^2}}}{{2{a^2} + bc}} + \frac{{2{b^2}}}{{2{b^2} + ca}} + \frac{{2{c^2}}}{{2{c^2} + ab}}} \right)\)

Suy ra\(9P \le 4 - \left( {\frac{{bc}}{{2{a^2} + bc}} + \frac{{ca}}{{2{b^2} + ca}} + \frac{{ab}}{{2{c^2} + ab}}} \right)\)

Ta có :

\(\frac{{bc}}{{2{a^2} + bc}} + \frac{{ca}}{{2{b^2} + ca}} + \frac{{ab}}{{2{c^2} + ab}} = \frac{{{b^2}{c^2}}}{{2{a^2}bc + {b^2}{c^2}}} + \frac{{{c^2}{a^2}}}{{2a{b^2}c + {c^2}{a^2}}} + \frac{{{a^2}{b^2}}}{{2ab{c^2} + {a^2}{b^2}}}\)

Áp dụng bất đẳng thức (2) ta được:

\(\frac{{{b^2}{c^2}}}{{2{a^2}bc + {b^2}{c^2}}} + \frac{{{c^2}{a^2}}}{{2a{b^2}c + {c^2}{a^2}}} + \frac{{{a^2}{b^2}}}{{2ab{c^2} + {a^2}{b^2}}} \ge \frac{{{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + 2{a^2}bc + 2a{b^2}c + 2ab{c^2}}} = \frac{{{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2}}}{{{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2}}} = 1\)

Vậy \(9P \le 4 - 1 \Rightarrow P \le \frac{1}{3}\). Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.