Cho tam giác \(ABC\) có trung tuyến \(AM.\) Các điểm \(E,F\) thay đổi trên \(CA,AB\) sao cho \(AE = AF.AM\)

Câu hỏi số 504085:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có trung tuyến \(AM.\) Các điểm \(E,F\) thay đổi trên \(CA,AB\) sao cho \(AE = AF.AM\) cắt \(EF\) tại \(N.\) Lấy điểm \(P\) sao cho \(FP//BC\) và \(NP//AB.\) Lấy điểm \(Q\) sao cho \(EQ//BC\) và \(NQ//AC.\) Chứng minh rằng: tứ giác \(PEQF\) là hình thoi.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:504085

Phương pháp giải

Sử dụng bổ đề hình thang và chùm đường thẳng đồng quy

Giải chi tiết

Gọi \(FP\) cắt \(AM,AC\) tại \(R,D.\) Dễ thấy \(R\) là trung điểm của \(FD.\)

Gọi \(QP\) cắt \(EF\) tại \(K.\)

Vì tứ giác \(ANPF\) là hình thang nên theo bổ đề hình thang thì \(RK\) đi qua trung điểm \(L\) của \(AF.\)

Từ đó \(RL\) là đường trung bình của tam giác \(AFD\) nên \(RL//AD.\)

Do đó, \(K\) là trung điểm của \(EF.\)

Ta có: \(AE = AF\) nên \(AP \bot EF\) tại trung điểm \(K\) của \(EF.\)

Tương tự ta có: \(AQ \bot EF\) tại \(K.\)

Lại có \(EQ//BC//EP\) nên \(K\) là trung điểm của \(PQ.\)

Từ đó \(PEQF\) là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau nên là hình thoi.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link