Cho tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi \(E,F,G,H\) theo thứ tự là trung

Câu hỏi số 507096:

Vận dụng

Cho tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi \(E,F,G,H\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(AB,BC,CD,DA\). Chứng minh rằng \(EFGH\) là hình chữ nhật.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507096

Phương pháp giải

Vận dụng mối liên hệ giữa hình bình hành và hình chữ nhật hay dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật

Giải chi tiết

* Xét \(\Delta ABC\) có: \(E,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC\)

\( \Rightarrow EF\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}EF//AC\\EF = \frac{1}{2}AC\end{array} \right.\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Chứng minh tương tự với \(\Delta ADC\), ta cũng có: \(\left\{ \begin{array}{l}HG//AC\\HG = \frac{1}{2}AC\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2), suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}EF//HG//AC\\EF = HG = \frac{1}{2}AC\end{array} \right.\)

Tứ giác \(EFGH\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}EF//HG\\EF = HG\end{array} \right.\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow EFGH\)là hình bình hành

* Xét \(\Delta BCD\) có: \(F,G\) lần lượt là trung điểm của \(BD\)

\( \Rightarrow GF\) là đường trung bình của \(\Delta BCD\)

\( \Rightarrow GF//BD\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}EF//AC\\AC \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow EF \bot BD\)

Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}FG//BD\\EF \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow EF \bot FG \Rightarrow \angle EFG = {90^0}\)

* Tứ giác \(EFGH\)là hình bình hành, có \(\angle EFG = {90^0}\)

\( \Rightarrow EFGH\) là hình chữ nhật (dhnb hình chữ nhật)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link