Cho tam giác vuông \(ABC\) có \(\angle A = {90^0}\), điểm \(D\) thuộc cạnh \(AB\), điểm \(E\) thuộc

Câu hỏi số 507097:

Vận dụng

Cho tam giác vuông \(ABC\) có \(\angle A = {90^0}\), điểm \(D\) thuộc cạnh \(AB\), điểm \(E\) thuộc cạnh \(AC\), Gọi \(M,N,P,Q\) theo thứ tự là trung điểm của \(DE,BE,BC,CD\). Chứng minh rằng: \(MP = NQ.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507097

Phương pháp giải

+ Vận dụng tính chất đường trung bình trong tam giác

+ Vận dụng mối liên hệ giữa hình bình hành và hình chữ nhật hay dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật

Giải chi tiết

Tam giác \(BDE\) có: \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(DE,BE\)

\( \Rightarrow MN\)là đường trung bình của \(\Delta BDE\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN//BD\\MN = \frac{1}{2}BD\end{array} \right.\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Tam giác \(BCD\) có: \(P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(BC,DC\)

\( \Rightarrow PQ\) là đường trung bình của \(\Delta BCD\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}PQ//BD\\PQ = \frac{1}{2}BD\end{array} \right.\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2), suy ra \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN//PQ//BD\\MN = PQ = \frac{1}{2}BD\end{array} \right.\)

Tứ giác \(MNPQ\) có:\(\left\{ \begin{array}{l}MN//PQ\\MN = PQ\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow MNPQ\) là hình bình hành (dhnb hình bình hành)

Tam giác \(CDE\) có \(M,Q\) lần lượt là trung điểm của \(DE,DC\)

\( \Rightarrow MQ\) là đường trung bình của \(\Delta CDE\)

\( \Rightarrow MQ//AC\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MN//AB\\AB \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot AC\)

Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}MN \bot AC\\AC//MQ\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot MQ \Rightarrow \angle NMQ = {90^0}\)

Ta có: \(MNPQ\) là hình bình hành (cmt) mà \(\angle NMQ = {90^0}\) nên \(MNPQ\) là hình chữ nhật (dhnb hình chữ nhật)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link