Cho \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn \(x + y + xy = 3\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Câu hỏi số 507175:

Vận dụng

Cho \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn \(x + y + xy = 3\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \sqrt {9 - {x^2}} + \sqrt {9 - {y^2}} + \frac{{x + y}}{4}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507175

Phương pháp giải

Biến đổi giả thiết \(x + y + xy = 3\) để xác định được \(x + y \ge 2\), sau đó áp dụng BĐT \(\sqrt a + \sqrt b \le \sqrt {2\left( {a + b} \right)} \) để xác định giá tị lớn nhất của biểu thức.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}3 = \left( {x + y} \right) + xy \le \left( {x + y} \right) + \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} + 4.\left( {x + y} \right) - 12 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\left( {x + y} \right) - 2} \right]\left[ {x + y + 6} \right] \ge 0\\ \Leftrightarrow x + y \ge 2\end{array}\)

Áp dụng BĐT \(\sqrt a + \sqrt b \le \sqrt {2\left( {a + b} \right)} \) ta có:

\(\begin{array}{l}P \le \sqrt {2\left( {9 - {x^2} + 9 - {y^2}} \right) + \frac{{x + y}}{4}} \\P \le \sqrt {36 - 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} + \frac{{x + y}}{4}\end{array}\)

Ta lại có: \(2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {\left( {x + y} \right)^2}\)

\( \Rightarrow P \le \sqrt {36 - {{\left( {x + y} \right)}^2}} + \frac{{x + y}}{4}\)

Đặt \(x + y = a\), với \(a \ge 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P \le \frac{{68 - {a^2}}}{{8\sqrt 2 }} + \frac{a}{2}\\ \Rightarrow P \le \frac{{68 - {a^2} + 2\sqrt 2 a}}{{8\sqrt 2 }}\\ \Rightarrow P \le \frac{{68 + 4 - {{\left( {a - 2} \right)}^2} - \left( {4 - 2\sqrt 2 } \right)a}}{{8\sqrt 2 }}\\ \Rightarrow P \le \frac{{72 - 0 - \left( {4 - 2\sqrt 2 } \right).2}}{{8\sqrt 2 }}\\ \Rightarrow P \le \frac{{1 + 8\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = 1\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link