Tìm các số nguyên \(m,\,\,n\) thỏa mãn \(m\left( {m + 1} \right)\left( {m + 2} \right) = {n^2}\).

Câu hỏi số 507174:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507174

Phương pháp giải

Biện luận lần lượt các giá trị của tham số \(m\): TH1: \(m < - 2\); TH2: \(m = - 2;m = - 1;m = 0\); TH3: \(m > 0\)

Giải chi tiết

+ Nếu \(m < - 2\) thì \(m\left( {m + 1} \right)\left( {m + 2} \right) < 0\) \( \Rightarrow {n^2} < 0\) (vô lý) \( \Rightarrow m < - 2\) không thỏa mãn.

+ Nếu \(m = - 2 \Rightarrow {n^2} = 0 \Leftrightarrow n = 0\).

\(m = - 1 \Rightarrow {n^2} = 0 \Leftrightarrow n = 0\).

\(m = 0 \Rightarrow {n^2} = 0 \Leftrightarrow n = 0\).

(thỏa mãn).

+ Nếu \(m > 0\),

TH1: Xét \(m\) lẻ, khi đó \(m,\,\,m + 1,\,\,m + 2\) là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau.

\( \Rightarrow m,\,\,m + 1,\,\,m + 2\) là 3 số chính phương.

Mà \(m,\,\,m + 1\) là 2 số nguyên dương liên tiếp \( \Rightarrow \) Vô lý.

+ TH2: Xét \(m\) chẵn, đặt \(m = 2t\,\,\left( {t \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

\( \Rightarrow 4t\left( {2t + 1} \right)\left( {t + 1} \right) = {n^2}\) \( \Rightarrow \) \(n\) chẵn.

Đặt \(n = 2x \Rightarrow t\left( {2t + 1} \right)\left( {t + 1} \right) = {x^2}\).

Có \(t,\,\,2t + 1,\,\,t + 1\) là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau

\( \Rightarrow t,\,\,2t + 1,\,\,t + 1\) là 3 số chính phương.

Mà \(t\) và \(t + 1\) là 2 số nguyên dương liên tiếp \( \Rightarrow \) vô lí.

Vậy \(\left( {m;n} \right) \in \left\{ {\left( { - 2;0} \right);\left( { - 1;0} \right);\left( {0;0} \right)} \right\}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link