Chứng minh rằng các tia phân giác các góc của một hình chữ nhật cắt nhau tạo thành một hình

Câu hỏi số 507484:

Vận dụng

Chứng minh rằng các tia phân giác các góc của một hình chữ nhật cắt nhau tạo thành một hình vuông.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507484

Phương pháp giải

+ Vận dụng tính chất của hình chữ nhật

+ Vận dụng dấu hiệu nhận biết của hình vuông.

Giải chi tiết

\(ABCD\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow \angle A = \angle B = {90^0}\)

\(AF,BF\) lần lượt là phân giác của \(\angle A,\angle B \Rightarrow \angle BAF = \angle ABF = \frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2}\angle B = \frac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\)

Xét \(\Delta ABF\) có: \(\angle BAF + \angle ABF + \angle AFB = {180^0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\angle BAF + \angle AFB = {180^0}\\ \Rightarrow \angle AFB = {180^0} - 2\angle BAF = {180^0} - {2.45^0} = {90^0}\end{array}\)

Chứng minh tương tự, ta có: \(\angle DHC = {90^0},\angle AED = {90^0}\)

Tứ giác \(EFGH\) có \(\angle AFB = {90^0};\angle DHC = {90^0};\angle AED = {90^0}\) nên \(EFGH\) là hình chữ nhật (dhnh hình chữ nhật)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta BCG\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle ADE = \angle GCB = {45^0}\\AD = BC\\\angle DAE = \angle CBG = {45^0}\end{array} \right\}\begin{array}{*{20}{c}}{ \Rightarrow \Delta ADE = \Delta BCG\left( {g.c.g} \right)}\\{ \Rightarrow AE = BG\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}\)

\(\Delta ABF\) cân ở \(F\) (vì \(\angle BAF = \angle ABF = {45^0}\)) \( \Rightarrow AF = BF\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AF = AE + EF\\BF = BG + GF\end{array} \right.\) mà \(\left\{ \begin{array}{l}AE = BG\\AF = BF\end{array} \right.\), suy ra \(EF = GF\)

Hình chữ nhật \(EFGH\) có \(EF = GF\) nên \(EFGH\) là hình vuông.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link