Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(E,F,G,H\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,BC,CD,DA\). Tìm điều kiện

Câu hỏi số 507485:

Vận dụng

Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(E,F,G,H\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,BC,CD,DA\). Tìm điều kiện của tứ giác \(ABCD\) để \(EFGH\) là hình vuông.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507485

Phương pháp giải

+ Vận dụng kiến thức đường trung bình trong tam giác để chứng minh tứ giác hình bình hành.

+ Vận dụng dấu hiệu nhận biết hình vuông để xác định được điều kiện của tứ giác \(ABCD\)

Giải chi tiết

\(\Delta ABD\) có \(E,H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AD\)

\( \Rightarrow HE\) là đường trung bình của \(\Delta ABD\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HE//BD\\HE = \frac{1}{2}BD\end{array} \right.\) (1)

Chứng minh tương tự, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}GF//BD\\GF = \frac{1}{2}BD\end{array} \right.\) (2)

Từ (1) và (2), suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}HE//GF\\HE = GF\end{array} \right.\)

Tứ giác \(EFGH\) có \(HE//GF;HE = GF\) nên \(EFGH\) là hình bình hành (dhbh hình bình hành)

\(\Delta ABC\) có \(E,F\) là trung điểm của \(AB,BC\)

\( \Rightarrow EF\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}EF//AC\\EF = \frac{1}{2}AC\end{array} \right.\)

\(EFGH\) là hình vuông \( \Leftrightarrow \)\(EFGH\) là hình bình hành có: \(\left\{ \begin{array}{l}HE = EF\\HE \bot EF\end{array} \right.\)

\(HE = EF \Leftrightarrow \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC \Leftrightarrow BD = AC\)

\(HE \bot EF \Leftrightarrow HE \bot AC\) (vì \(EF//AC\)) \( \Leftrightarrow BD \bot AC\) (vì \(HE//BD\))

Vậy tứ giác \(ABCD\) cần có thêm điều kiện: \(AC = BD\) và \(AC \bot BD\) để \(EFGH\) là hình vuông.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link