Cho ba số thực dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 3\). Chứng minh rằng\(\left(

Câu hỏi số 507748:

Vận dụng

Cho ba số thực dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 3\). Chứng minh rằng

\(\left( {{x^4} + {y^4} + {z^4}} \right) + \left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) \ge 3 + x + y + z\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507748

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức, sau đó áp dụng BĐT Cô – si

Giải chi tiết

Ta có: \({x^4} + {y^4} + {z^4} \ge \frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}}}{3} \ge 3\,\,\left( {BDT\,\,Cauchy - Schwarz} \right)\) (1)

Ta sẽ chứng minh \({x^3} + {y^3} + {z^3} \ge x + y + z\).

Có \(3\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) \ge \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\,\,\left( * \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) \ge {x^3} + {y^3} + {z^3} + xy\left( {x + y} \right) + yz\left( {y + z} \right) + zx\left( {z + x} \right)\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) \ge xy\left( {x + y} \right) + yz\left( {y + z} \right) + zx\left( {z + x} \right)\end{array}\)

Vì \(\left( {x + y} \right){\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2} - xy} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} \ge xy\left( {x + y} \right)\end{array}\)

Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{y^3} + {z^3} \ge yz\left( {y + z} \right)\\{z^3} + {x^3} \ge zx\left( {z + x} \right)\end{array} \right.\)

Cộng vế theo vế suy ra BĐT (*) đúng.

Suy ra \(3\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) \ge \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge 3\left( {x + y + z} \right)\) \( \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} \ge x + y + z\) (2).

Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta có \(\left( {{x^4} + {y^4} + {z^4}} \right) + \left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) \ge 3 + x + y + z\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link