Tìm tất cả các bộ số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn phương trình \({x^2} - 2x + 2{y^2} =

Câu hỏi số 507749:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các bộ số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn phương trình \({x^2} - 2x + 2{y^2} = 2\left( {xy + 1} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507749

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đánh giá để tìm các bộ số nguyên thỏa mãn phương trình

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^2} - 2x + 2{y^2} = 2\left( {xy + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 2xy + 2{y^2} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {1 + y} \right)x + 2{y^2} - 2 = 0\end{array}\)

Coi phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn \(x\), \(y\) là tham số, ta có:

\(\Delta ' = {\left( {1 + y} \right)^2} - 2{y^2} + 2 = - {y^2} + 2y + 3\)

Để tồn tại bộ số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thì phương trình đã cho phải có nghiệm

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow - {y^2} + 2y + 3 \ge 0 \Leftrightarrow {y^2} - 2y - 3 \le 0\\ \Leftrightarrow {y^2} + y - 3y - 3 \le 0 \Leftrightarrow y\left( {y + 1} \right) - 3\left( {y + 1} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right)\left( {y - 3} \right) \le 0\end{array}\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}y + 1 \le 0\\y - 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \le - 1\\y \ge 3\end{array} \right. \Rightarrow y \in \emptyset \).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}y + 1 \ge 0\\y - 3 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge - 1\\y \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le y \le 3\).

Mà \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow y \in \left\{ { - 1;0;1;2;3} \right\}\).

Thay \(y = - 1\) vào phương trình ban đầu ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} - 2x + 2 = 2\left( { - x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 2 = - 2x + 2 \Leftrightarrow {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Thay \(y = 0\) vào phương trình ban đầu ta có: \({x^2} - 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt 3 \,\,\left( {ktm} \right)\)

Thay \(y = 1\) vào phương trình ban đầu ta có: \({x^2} - 2x + 2 = 2\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).

Thay \(y = 2\) vào phương trình ban đầu ta có: \({x^2} - 2x + 8 = 2\left( {2x + 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt 3 \,\,\left( {ktm} \right)\).

Thay \(y = 3\) vào phương trình ban đầu ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} - 2x + 18 = 2\left( {3x + 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\).

Vậy các bộ số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {0; - 1} \right);\left( {0;1} \right);\left( {4;1} \right)} \right\};\left( {4;3} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link