Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều có cạnh bằng \(a,\,\,SA\) vuông góc với đáy,

Câu hỏi số 508916:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều có cạnh bằng \(a,\,\,SA\) vuông góc với đáy, khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\dfrac{{\sqrt 3 a}}{4}\). Thể tích \(V\) của hình chóp \(S.ABC\) là:

A. \(V = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}{a^3}\)

B. \(V = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}}{a^3}\)

C. \(V = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}}{a^3}\)

D. \(V = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{24}}{a^3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:508916

Phương pháp giải

Xác định khoảng cách từ \(A\) tới mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng 2 bước:

Bước 1: Kẻ \(AH \bot BC\)

Bước 2: Nối \(S\) với \(H.\)

Bước 3: Kẻ \(AK \bot SH\). Khi đó \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AK\)

Từ đó tính được chiều cao \(SA\) của khối chóp.

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: \(V = \dfrac{1}{3}.S.h\)

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAH} \right)\)

\(\left( {SBC} \right) \cap \left( {SAH} \right) = SH\)

Kẻ \(AK \bot SH\) tại \(K \Rightarrow AK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AK = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{4}\)

Ta có: \(AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAH\) ta có:

\(\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{H^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{{16}}{{3{a^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{4}{{3{a^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{S{A^2}}} = \dfrac{4}{{{a^2}}} \Leftrightarrow S{A^2} = \dfrac{4}{{{a^2}}} \Leftrightarrow SA = \dfrac{a}{2}\)

Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là: \(V = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.