Chứng minh rằng: \(A = {n^6} + {n^4} - 2{n^2}\) chia hết cho \(72\) với mọi số tự nhiên

Câu hỏi số 509871:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng: \(A = {n^6} + {n^4} - 2{n^2}\) chia hết cho \(72\) với mọi số tự nhiên \(n.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:509871

Phương pháp giải

Để chứng minh \(A\,\, \vdots \,\,72\) ta chứng minh \(A\,\, \vdots \,\,8\) và \(A\,\, \vdots \,\,9.\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = {n^6} + {n^4} - 2{n^2}\\A = {n^2}\left( {{n^4} + {n^2} - 2} \right)\\A = {n^2}\left( {{n^4} - 1 + {n^2} - 1} \right)\\A = {n^2}\left[ {\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right) + \left( {{n^2} - 1} \right)} \right]\\A = {n^2}\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {{n^2} + 1 + 1} \right)\\A = {n^2}\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} + 2} \right)\\A = n.n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} + 2} \right)\end{array}\)

+) Chứng minh \(A\,\, \vdots \,\,8\)

Với \(n = 2k\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = 4{k^2}\left( {2k + 1} \right)\left( {2k - 1} \right)\left( {4{k^2} + 2} \right)\,\,\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 8{k^2}\left( {2k + 1} \right)\left( {2k - 1} \right)\left( {2{k^2} + 1} \right)\,\, \vdots \,\,8\\ \Rightarrow A\,\, \vdots \,\,8\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Với \(n = 2k + 1\,\,\,\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = {\left( {2k + 1} \right)^2}2k\left( {2k + 2} \right)\left[ {{{\left( {2k + 1} \right)}^2} + 2} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4k\left( {k + 1} \right){\left( {2k + 1} \right)^2}\left[ {{{\left( {2k + 1} \right)}^2} + 2} \right]\end{array}\)

\(k\left( {k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,2\) vì là tích \(2\) số liên tiếp.

\( \Rightarrow A\,\, \vdots \,\,8\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right) \Rightarrow A\,\, \vdots \,\,8\) với mọi số tự nhiên \(n.\)

+) Chứng minh \(A\,\, \vdots \,\,9\)

Với \(n\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow A\,\, \vdots \,\,\,9\) \(\left( 3 \right)\)

Với \(n\) không chia hết cho \(3 \Rightarrow {n^2}\) là số chính phương nên chia \(3\) dư \(1\) (vì số chính phương chia \(3\) chỉ có số dư là \(0\) hoặc \(1\)).

\( \Rightarrow {n^2} + 2\,\, \vdots \,\,3.\)

Mà \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho \(3.\)

\( \Rightarrow A\,\, \vdots \,\,9\,\,\,\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right) \Rightarrow A\,\, \vdots \,\,9.\)

\( \Rightarrow A\,\, \vdots \,\,72.\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link