Chứng minh rằng: \(J = {10^n} + 18n - 1\) chia hết cho \(27\)

Câu hỏi số 509872:

Vận dụng cao

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:509872

Phương pháp giải

Dựa vào tính chất: Một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}J = {10^n} + 18n - 1 = \left( {{{10}^n} - 1} \right) + 18n\\\,\,\,\,\,\, = \underbrace {999....9}_{n\,\,\,chu\,\,so\,\,9} + 18n = 9\left( {\underbrace {111....1}_{n\,\,chu\,\,so\,\,1} + 2n} \right)\end{array}\)

Đặt \(I = \underbrace {111....1}_{n\,\,chu\,\,so\,\,1} + 2n \Rightarrow J = 9I.\)

Xét biểu thức: \(I = \underbrace {111...1}_{n\,\,chu\,\,so\,\,1} + 2n = \underbrace {111...1}_{n\,\,chu\,\,so\,\,1} - n + 3n\)

Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho \(3.\)

Ta có số \(\underbrace {111...1}_{n\,\,chu\,\,so\,\,1}\) có tổng là: \(1 + 1 + .... + 1 = n.1 = n.\)

\( \Rightarrow \underbrace {111...1}_{n\,\,chu\,\,so\,\,1}\) và \(n\) có cùng số dư trong phép chia cho \(3.\)

\( \Rightarrow \underbrace {111...1}_{n\,\,chu\,\,so\,\,1} - n\) chia hết cho \(3.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I\,\, \vdots \,\,3\\ \Rightarrow 9I \vdots \,\,27 \Rightarrow J\,\, \vdots \,\,27.\end{array}\)

Vậy \(J = {10^n} + 18n - 1\,\,\, \vdots \,\,\,27\,\)(đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link