Cho các số thực \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(0 \le x,\,\,y,\,\,z \le 1\). Chứng minh rằng: \(x + y + z -

Câu hỏi số 510374:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(0 \le x,\,\,y,\,\,z \le 1\). Chứng minh rằng: \(x + y + z - 2\left( {xy + yz + zx} \right) + 4xyz \le 1\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:510374

Phương pháp giải

Từ giả thiết của đề bài, đánh giá từng bất đẳng thức.

Giải chi tiết

Vì \(0 \le x,\,\,y,\,\,z \le 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy\left( {z - 1} \right) \le 0\\yz\left( {x - 1} \right) \le 0\\xz\left( {y - 1} \right) \le 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 3xyz \le xy + yz + zx \Leftrightarrow 3xyz - \left( {xy + yz + zx} \right) \le 0\) (1)

Lại có \(\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\left( {z - 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow xyz - xy - yz - zx + x + y + z - 1 \le 0\) (2)

Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta được

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,4xyz - 2\left( {xy + yz + zx} \right) + x + y + z - 1 \le 0\\ \Leftrightarrow x + y + z - 2\left( {xy + yz + zx} \right) + 4xyz \le 1\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra chăng hạn tại \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {1;1;1} \right)\) hoặc \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {0;1;1} \right)\) và các hoán vị của nó.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link