Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm F, vẽ EF vuông góc với BC tại E. Gọi (O) là
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm F, vẽ EF vuông góc với BC tại E. Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF. Đường thẳng BF cắt (O) tại điểm thứ hai là D, DE cắt AC tại H.
1. Chứng minh ABEF là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh \(\angle BCA = \angle BDA\)
3. Chứng minh hai tam giác AEO và EHO đồng dạng.
4. Đường thẳng AD cắt (O) tại điểm thứ hai là G , FG cắt CD tại I, CG cắt FD tại K. Chứng minh I, K, H thẳng hàng.
Quảng cáo
1) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.
2) + 3) Vận dụng mối quan hệ góc – đường tròn.
4) Vận dụng tính của tứ giác nội tiếp và mối quan hệ góc – đường tròn.
1) Ta có \(\angle FAB = {90^0}\) (vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\))
\(\angle FEB = {90^0}\) (vì \(FE \bot BC\)).
\( \Rightarrow \angle FAB + \angle FEB = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
\( \Rightarrow ABEF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
2) Ta có \(\angle BDC = \angle FDC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
\( \Rightarrow \angle BDC = \angle BAC = {90^0}\).
\( \Rightarrow ABCD\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\) (Tứ giác có 2 đỉnh \(A,\,\,D\) cùng nhìn \(BC\) dưới một góc \({90^0}\)).
\( \Rightarrow \angle BCA = \angle BDA\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\)).
3) Ta có: \(OD = OE \Rightarrow \Delta ODE\) cân tại \(O \Rightarrow \angle OED = \angle OED = \frac{{{{180}^0} - \angle EOD}}{2}\) (tổng 3 góc trong một tam giác).
Mà \(\angle EOD = 2\angle ECD = 2\angle BCD\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \(DE\))
\( \Rightarrow \angle OED = \angle OED = \frac{{{{180}^0} - 2\angle BCD}}{2} = {90^0} - \angle BCD = \angle CBD = \angle EBF\) (do tam giác \(BCD\) vuông tại \(D\)).
Lại có: \(\angle EBF = \angle EAF\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EF\) của tứ giác nội tiếp \(ABEF\))
\( \Rightarrow \)\(\angle EAO = \angle EAF = \angle OED = \angle OEH\).
Xét tam giác \(OEH\) và tam giác \(OAE\) ta có:
\(\angle EOA\) chung;
\(\angle EAO = \angle OEH\,\,\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta OEH \sim \Delta OAE\,\,\,\left( {g.g} \right)\).
4) Ta có \(\angle FGC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính \(CF\)) \( \Rightarrow FG \bot CK\).
Mà \(CD \bot KF\) và \(\left\{ I \right\} = CD \cap GF\) nên \(I\) là trực tâm của tam giác \(CFK\).
\( \Rightarrow KI\) là đường cao thứ 3 của tam giác \(CFK\) \( \Rightarrow KI \bot CF\) (1)
Ta có \(\angle OAE = \angle OEH = \angle ODE\,\,\,\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow OEAD\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
\( \Rightarrow \) \(\angle ADE = \angle AOE\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AE\)).
Mà \(\angle AOE = 2\angle FCE = 2\angle FDE\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \(EF\)).
\( \Rightarrow \angle ADE = 2\angle FDE\) \( \Rightarrow DF\) là phân giác của \(\angle ADE\) \( \Rightarrow \angle ADF = \angle FDE = \frac{1}{2}\angle ADE\)
Ta lại có \(\angle FDA = \angle GCA = \angle KCH\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp \(CFDG\)).
\( \Rightarrow \angle HDF = \angle KCH \Rightarrow CHDK\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).
\( \Rightarrow \angle KHC = \angle CDK = {90^0}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(CK\)) hay \(KH \bot CF\) (2)
Từ (1) và (2) ta có \(I,\,\,K,\,\,H\) thẳng hàng.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
