Cho tam giác \(ABC\) có đường phân giác ngoài của góc \(A\) cắt đường thẳng \(BC\) tại điểm
Cho tam giác \(ABC\) có đường phân giác ngoài của góc \(A\) cắt đường thẳng \(BC\) tại điểm \(D\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ADM\) cắt các đường thẳng \(AB,\,AC\) lần lượt tại \(E,\,\,F\) (Với \(E,\,\,F\) khác \(A\)). Gọi \(N\) là trung điểm của \(EF\). Chứng minh rằng \(MN//AD.\)
Quảng cáo
Vẽ hình bình hành \(BPCF\)
Vận dụng tính chất đường trung bình trong tam giác, góc – đường tròn để chứng minh.
Vẽ hình bình hành \(BPCF\).
\( \Rightarrow \) Hai đường chéo \(BC\) và \(PF\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Mà \(M\) là trung điểm của \(BC\,\,\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow M\) cũng là trung điểm cuar \(PF\).
Ta có \(N\) là trung điểm của \(EF\) (gt), \(M\) là trung điểm của \(PF\) (cmt)
\( \Rightarrow \) \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(EPF\) (định nghĩa)
\( \Rightarrow MN//EP\) (1) (tính chất đường trung bình của tam giác).
Ta có:
\(\angle MPB = \angle MFA\) (so le trong);
\(\angle MDA = \angle MEA = \angle MFA\) (các góc nội tiếp cùng chắn cung \(AM\));
\( \Rightarrow \angle MEA = \angle MPB\) hay \(\angle MEB = \angle MPB\).
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BMEP\) nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
Suy ra \(\angle BEP = \angle BMP = \angle FMD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BP\) và hai góc đối đỉnh).
Mặt khác \(\angle FMD = \angle FAD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DF\))
Do đó: \(\angle FAD = \angle BEP = \angle AEP\).
Mà \(AD\) là phân giác ngoài của \(\angle BAC\), \(\angle BAC\) và \(\angle CAE\) kề bù nên \(AD\) là phân giác của \(\angle CAE\).
\( \Rightarrow \angle FAD = \angle DAE\).
Suy ra \(\angle AEP = \angle DAE\). Mà hai góc này nằm ở vị trí 2 góc so le trong bằng nhau nên \(AD//PE\,\,\left( 2 \right)\).
Từ (1) và (2) suy ra \(AD//MN\) (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
