Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \(\left( {AB > AC} \right)\), có đường cao \(AH\). Biết \(BC = 1dm\)

Câu hỏi số 510708:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \(\left( {AB > AC} \right)\), có đường cao \(AH\). Biết \(BC = 1dm\) và \(AH = \frac{{12}}{{25}}dm\).

a) Tính độ dài hai cạnh \(AB\) và \(AC\).

b) Kẻ \(HD \bot AB;\,\,HE \bot AC\) với \(D \in AB,\,\,E \in AC\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\). Chứng minh \(IA \bot DE\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:510708

Phương pháp giải

a) Áp dụng hệ thức lượng và định lí Pytago trong tam giác vuông

Lập phương trình để giải ra độ dài của đoạn thẳng

b) Gọi \(F\) là giao điểm của \(AI\) và \(DE\)

Vận dụng tính chất góc – đường tròn và tổng ba góc trong một tam giác.

Giải chi tiết

a) Áp dụng hệ thức lượng và định lí Pytago trong tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} = 1\\AB.AC = AH.BC = \frac{{12}}{{25}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = 1\\A{B^2}.A{C^2} = \frac{{144}}{{625}}\end{array} \right.\)

Khi đó \(A{B^2}\) và \(A{C^2}\) là các nghiệm dương của phương trình:

\({X^2} - 1.X + \frac{{144}}{{526}} = 0\) (hệ quả của định lí Vi-et)

Ta có: \(\Delta = 1 - 4.\frac{{144}}{{625}} = {\left( {\frac{7}{{25}}} \right)^2} > 0\) nên phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt:

\(\left\{ \begin{array}{l}{X_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{1 + \frac{7}{{25}}}}{2} = \frac{{16}}{{25}}\\{X_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{1 + \frac{7}{{25}}}}{2} = \frac{9}{{25}}\end{array} \right.\)

Vì \(AB > AC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow A{B^2} > A{C^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A{B^2} = {X_1} = \frac{{16}}{{25}}\\A{C^2} = {X_2} = \frac{9}{{25}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = \frac{4}{5}\\AC = \frac{3}{5}\end{array} \right.\)

Vậy \(AB = \frac{4}{5}dm,\,\,AC = \frac{3}{5}dm\).

b) Gọi \(F\) là giao điểm của \(AI\) và \(DE\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}HE \bot AC \Rightarrow \angle HEA = {90^0}\\HD \bot AB \Rightarrow \angle HDA = {90^0}\\\angle DAE = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow EHDA\) là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông).

\( \Rightarrow EHDA\) là tứ giác nội tiếp.

\( \Rightarrow \angle ADE = \angle AHE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AE\)).

Mà \(\angle AHE = \angle ECH\) (Cùng phụ \(\angle CHE\))

\( \Rightarrow \angle ADE = \angle ECH = \angle ACB\) (1)

Ta lại có \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(IA = IB = \frac{1}{2}BC\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).

\( \Rightarrow \Delta IAB\) cân tại \(I\) \( \Rightarrow \angle IAB = \angle IBA\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\angle ADE + \angle IAB = \angle ACB + \angle IBA = {90^0}\) (do tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\)).

\( \Rightarrow \angle ADF = {180^0} - \left( {\angle FAD + \angle FDA} \right) = {180^0} - \left( {\angle IAB + \angle ADE} \right) = {90^0}\) (tổng 3 góc trong một tam giác).

Vậy \(IA \bot DE\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link