Tìm tổng các nghiệm của phương trình \(\sin 3x + \cos x = 0\) trên \(\left( {0;\pi } \right)\).

Câu hỏi số 511645:

Thông hiểu

A. \(\dfrac{\pi }{3}\).

B. \(\pi \).

C. \(2\pi \).

D. \(\dfrac{{5\pi }}{8}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:511645

Phương pháp giải

Chuyển vế, đưa về dạng \(\sin \,a = \sin \,b\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sin 3x + \cos x = 0\\ \Leftrightarrow \sin 3x = - \cos x\\ \Leftrightarrow \sin 3x = - \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)\\ \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( { - \dfrac{\pi }{2} + x} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - \dfrac{\pi }{2} + x + k2\pi \\3x = \pi + \dfrac{\pi }{2} - x + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\4x = \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{8} + \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}0 < - \dfrac{\pi }{4} + k\pi < \pi \\ \Leftrightarrow 0 < - \dfrac{1}{4} + k < 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} < k < \dfrac{5}{4} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{3\pi }}{4}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}0 < \dfrac{{3\pi }}{8} + \dfrac{{k\pi }}{2} < \pi \\ \Leftrightarrow 0 < \dfrac{3}{8} + \dfrac{k}{2} < 1\\ \Leftrightarrow - \dfrac{3}{4} < k < \dfrac{5}{4} \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\} \Rightarrow x = \dfrac{{3\pi }}{8};\,x = \dfrac{{7\pi }}{8}\end{array}\)

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: \(\dfrac{{3\pi }}{4} + \dfrac{{3\pi }}{8} + \dfrac{{7\pi }}{8} = 2\pi \)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.