Biết hàm số \(y = \dfrac{{\sin x - \cos x + \sqrt 2 }}{{\sin x + \cos x + 2}}\) có giá trị lớn nhất là

Câu hỏi số 511644:

Thông hiểu

Biết hàm số \(y = \dfrac{{\sin x - \cos x + \sqrt 2 }}{{\sin x + \cos x + 2}}\) có giá trị lớn nhất là \(M\), giá trị nhỏ nhất là \(N\). Khi đó, giá trị của \(2M + N\) là

A. \(\sqrt 2 \).

B. \(4\sqrt 2 \).

C. \(2\sqrt 2 \).

D. \(4\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:511644

Phương pháp giải

Sử dụng tích chéo bằng nhau, đưa về phương trình bậc nhất với hai ẩn \(\sin \,x,\cos x\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{\sin \,x - \cos x + \sqrt 2 }}{{\sin \,x + cos + 2}}\\ \Leftrightarrow y\left( {\sin \,x + cos + 2} \right) = \sin \,x - \cos x + \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\sin \,x + \left( {y + 1} \right)\cos x = - 2y + \sqrt 2 \end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {\sqrt 2 - 2y} \right)^2} \le {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{y^2} - 4\sqrt 2 y + 2 \le 2{y^2} + 2\\ \Leftrightarrow 2{y^2} - 4\sqrt 2 y \le 0\\ \Leftrightarrow y\left( {y - 2\sqrt 2 } \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le y \le 2\sqrt 2 \end{array}\)

Vậy \(\max y = 2\sqrt 2 ;\,\min y = 0\) suy ra \(2M + N = 2.2\sqrt 2 = 4\sqrt 2 \)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.