Chứng minh rằng với \(n \in {\mathbb{N}^*}\) thì \({n^3} - n\) chia hết cho \(3.\)

Câu hỏi số 512053:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:512053

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp.

Sử dụng \({\left( {k + 1} \right)^3} = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1\)

Giải chi tiết

Đặt: \({A_n} = {n^3} - n\)

+) Với \(n = 1 \Rightarrow {A_1} = 1 - 1 = 0\,\, \vdots \,\,3\) (đúng)

+) Giả sử \({n^3} - n\,\, \vdots \,\,3\) đúng khi \(n = k \ge 1\) hay \({A_k} = {k^3} - k\,\, \vdots \,\,3\) (giả thiết quy nạp)

+) Cần chứng minh \({n^3} - n\,\, \vdots \,\,3\) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh: \({A_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} - \left( {k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{A_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} - \left( {k + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 - k - 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{k^3} - k} \right) + 3\left( {{k^2} + k} \right)\end{array}\)

Vì \({k^3} - k\,\,\, \vdots \,\,3\) (giả thiết quy nạp); \(3\,\, \vdots \,\,3\)

\( \Rightarrow \left( {{k^3} - k} \right) + 3\left( {{k^2} + k} \right)\,\, \vdots \,\,3\)

Hay \({A_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,3.\)

Vậy \({n^3} - n\,\, \vdots \,\,3\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}.\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link