Cho \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực thỏa mãn \(x + y + z = 3\). Chứng minh:\(\frac{1}{{\sqrt {x\left( {2y +

Câu hỏi số 512185:

Vận dụng cao

Cho \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực thỏa mãn \(x + y + z = 3\). Chứng minh:

\(\frac{1}{{\sqrt {x\left( {2y + 3z} \right)} }} + \frac{1}{{\sqrt {y\left( {2z + 3x} \right)} }} + \frac{1}{{\sqrt {z\left( {2x + 3y} \right)} }} \ge \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:512185

Phương pháp giải

Áp dụng lần lượt BĐT AM-GM và BĐT Cauchy-Schwwarz

Giải chi tiết

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\sqrt {5x\left( {2y + 3z} \right)} \le \frac{{5x + 2y + 3z}}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {x\left( {2y + 3z} \right)} }} \ge \frac{{2\sqrt 5 }}{{5x + 2y + 3z}}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt {y\left( {2z + 3x} \right)} }} \ge \frac{{2\sqrt 5 }}{{5y + 2z + 3x}}\\\frac{1}{{\sqrt {z\left( {2x + 3y} \right)} }} \ge \frac{{2\sqrt 5 }}{{5z + 2x + 3y}}\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\frac{1}{{\sqrt {x\left( {2y + 3z} \right)} }} + \frac{1}{{\sqrt {y\left( {2z + 3x} \right)} }} + \frac{1}{{\sqrt {z\left( {2x + 3y} \right)} }} \ge \frac{{2\sqrt 5 }}{{5x + 2y + 3z}} + \frac{{2\sqrt 5 }}{{5y + 2z + 3x}} + \frac{{2\sqrt 5 }}{{5z + 2x + 3y}}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwwarz ta có:

\(\frac{1}{{5x + 2y + 3z}} + \frac{1}{{5y + 2z + 3x}} + \frac{1}{{5z + 2x + 3y}} \ge \frac{1}{{10\left( {x + y + z} \right)}} = \frac{3}{{10}}\)

\( \Rightarrow \frac{{2\sqrt 5 }}{{5x + 2y + 3z}} + \frac{{2\sqrt 5 }}{{5y + 2z + 3x}} + \frac{{2\sqrt 5 }}{{5z + 2x + 3y}} \ge \frac{{2\sqrt 5 .3}}{{10}} = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\).

Vậy \(\frac{1}{{\sqrt {x\left( {2y + 3z} \right)} }} + \frac{1}{{\sqrt {y\left( {2z + 3x} \right)} }} + \frac{1}{{\sqrt {z\left( {2x + 3y} \right)} }} \ge \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{3}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link