Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của \(x\) và \(y\) thỏa mãn \({x^2} - {2^y}.x - {4^{21}}.9 =

Câu hỏi số 512184:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của \(x\) và \(y\) thỏa mãn \({x^2} - {2^y}.x - {4^{21}}.9 = 0\).

A. \(\left( {x;y} \right) = \left( {{2^{21}};\,\,{2^{24}}} \right)\)

B. \(\left( {x;y} \right) = \left( {9;\,\,{2^{24}}} \right)\)

C. \(\left( {x;y} \right) = \left( {{{9.2}^{21}};\,\,{2^{24}}} \right)\)

D. \(\left( {x;y} \right) = \left( {{2^{21}};\,9.\,{2^{24}}} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:512184

Phương pháp giải

Áp dụng lần lượt BĐT AM-GM và BĐT Cauchy-Schwwarz

Giải chi tiết

a) Coi \({x^2} - {2^y}.x - {4^{21}}.9 = 0\) là phương trình bậc hai ẩn \(x\) ta có:

\(\Delta = {\left( {{2^y}} \right)^2} + {4.4^{21}}.9 = {\left( {{2^y}} \right)^2} + {2^{44}}.9\)

Để \(x \in \mathbb{Z}\) thì \(\Delta \) phải là số chính phương.

\( \Rightarrow \exists a \in {\mathbb{N}^*}\) sao cho \({\left( {{2^y}} \right)^2} + {2^{44}}.9 = {a^2}\) \( \Leftrightarrow \left( {a + {2^y}} \right)\left( {a - {2^y}} \right) = {9.2^{44}}\).

Vì \(\left( {a + {2^y}} \right) - \left( {a - {2^y}} \right) = {2^{y + 1}}\) không chia hết cho 3 nên \(a + {2^y}\) và \(a - {2^y}\) không đồng thời chia hết cho 3.

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a - {2^y}\,\, \vdots \,\,9\\a + {2^y}\,\, \vdots \,\,9\end{array} \right.\).

Lại có \(\left( {a - {2^y}} \right) + \left( {a + {2^y}} \right) = 2a\) chẵn nên \(a - {2^y}\) và \(a + {2^y}\) cùng tính chẵn lẻ.

Mà \(\left( {a + {2^y}} \right)\left( {a - {2^y}} \right) = {9.2^{44}}\) chẵn nên \(a - {2^y}\) và \(a + {2^y}\) cùng chẵn.

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}a + {2^y} = {9.2^m}\\a - {2^y} = {2^n}\end{array} \right.\,\,\left( {m,n \in {\mathbb{N}^*},\,\,m + n = 44} \right)\) \( \Rightarrow {2^{y + 1}} = {9.2^m} - {2^n}\).

Nếu \(m > n\): \({9.2^m} - {2^n} > {2^n}\left( {{{9.2}^{m - n}} - 1} \right)\).

Có \({9.2^{m - n}} - 1\) là số lẻ (mâu thuẫn vì \({2^{y + 1}}\) không chia hết cho số lẻ).

Nếu \(m = n\), \(m + n = 44 \Rightarrow m = n = 22\).

Khi đó ta có \({2^{y + 1}} = {9.2^{22}} - {2^{22}} = {2^{25}}\).

Khi đó \(\Delta = {\left( {{2^{24}}} \right)^2} + {2^{44}}.9 = {25.2^{44}} \Rightarrow \sqrt \Delta = {5.2^{22}}\)

\( \Rightarrow x = \frac{{{2^{24}} + {{5.2}^{22}}}}{2} = {2^{23}} + {5.2^{21}} = {9.2^{21}}\).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}a + {2^y} = {2^m}\\a - {2^y} = {9.2^n}\end{array} \right.\,\,\left( {m,n \in {\mathbb{N}^*},\,\,m + n = 44} \right)\) \( \Rightarrow {2^{y + 1}} = {2^m} - {9.2^n}\).

Lập luận tương tự ta có \(m > n\) hoặc \(m < n\) không thỏa mãn.

Với \(m = n = 22 \Rightarrow {2^{y + 1}} = {2^{22}} - {9.2^{22}} < 0\) (Vô lí)

Vậy cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn đề bài là \(\left( {x;y} \right) = \left( {{{9.2}^{21}};\,\,{2^{24}}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link