Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, BC = a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng

Câu hỏi số 514323:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, BC = a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, đường thẳng SC tạo với các mặt phẳng (SAB) và (ABCD) các góc đều bằng \({30^0}.\) Tính diện tích S của hình chữ nhật ABCD.

A. \(S = {a^2}\sqrt 3 .\)

B. \(S = 2{a^2}.\)

C. \(S = {a^2}\sqrt 2 .\)

D. \(S = {a^2}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:514323

Phương pháp giải

Áp dụng phương pháp tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng – hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải quyết yêu cầu của bài toán

Giải chi tiết

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \,\,AC\) là hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD)

\( \Rightarrow \) Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là \(\widehat {SCA} = {30^0}.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow \,\,BC \bot \left( {SAB} \right)\,\, \Rightarrow \,\,SB\) là hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB).

\( \Rightarrow \) Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là \(\widehat {BSC} = {30^0}.\)

Đặt \(AB = x\,\, \Rightarrow \,\,AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{x^2} + {a^2}} \,\, \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}SA = AC.\tan \widehat {SCA} = \sqrt {\dfrac{{{x^2} + {a^2}}}{3}} \\SB = \dfrac{{BC}}{{\tan \widehat {BSC}}} = a\sqrt 3 \end{array} \right.\)

Tam giác SAB vuông tại \(A\,\, \Rightarrow \,\,S{A^2} + A{B^2} = S{B^2}\)\( \Leftrightarrow \,\,\dfrac{{{x^2} + {a^2}}}{3} + {x^2} = 3{a^2} \Leftrightarrow \dfrac{4}{3}{x^2} = \dfrac{8}{3}{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 .\)

Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD là \(S = AB\,\, \times \,BC = {a^2}\sqrt 2 .\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.