Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với AB = AC = a. Gọi M là trung điểm

Câu hỏi số 514324:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với AB = AC = a. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng \({60^0}.\) Tính độ dài SB.

A. \(\dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}.\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt {30} }}{6}.\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt {10} }}{4}.\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt {30} }}{4}.\)

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

Áp dụng phương pháp tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng – hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải quyết yêu cầu của bài toán

Giải chi tiết

Gọi I là trung điểm của \(BC \Rightarrow AI\) là đường trung trực của BC.

Gọi K là trung điểm của MB, vẽ đường thẳng qua K và vuông góc với MB cắt AI tại H.

Suy ra KH là đường trung trực của MB và H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC. Do đó \(SH \bot \left( {ABCD} \right).\)

Ta có HB là hình chiếu vuông góc của SB trên mp(ABC).

Suy ra \(\widehat {\left( {SB;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB;BH} \right)} = \widehat {SBH} = {60^0}.\)

Tam giác AKH vuông cân tại K\( \Rightarrow \,\,HK = AK = \dfrac{3}{4}AB = \dfrac{{3a}}{4}.\)

Tam giác BKH vuông tại K có \(BH = \sqrt {B{K^2} + H{K^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{{16}} + \dfrac{{9{a^2}}}{{16}}} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{4}.\)

Tam giác SBH vuông tại H, có \(\cos \widehat {SBH} = \dfrac{{BH}}{{SB}} \Rightarrow SB = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{4}:\cos {60^0} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}.\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:514324

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.